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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Do 04.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie ,ob die folgenden Reihen konvergieren.
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{2^nn^2}{n!}
[/mm]
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2-9}{n^3}
[/mm]
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Guten Abend,
habe bei diesen zwei Aufgaben das Problem das, bei beiden, das
Quotientenkriterium nicht funktioniert.Bei der ersten kann mann leider auch nicht auf die Exponentialreihe zurückgreifen,wegen dem [mm] n^2.
[/mm]
Bei der Zweiten hatte ich mir überlegt:
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2-9}{n^3} [/mm] =
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1-9/n^2}{n}
[/mm]
Da mann weiss das die Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}
[/mm]
divigiert wollte ich diese als Minorante wählen nur funktioniert dies ja auch nicht da
1/n > [mm] \bruch{1-9/n^2}{n} [/mm] .
Wäre nett wenn mir jemand irgendwie bei beiden Aufgaben auf die Sprünge helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Fr 05.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Untersuchen Sie ,ob die folgenden Reihen konvergieren.
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{2^nn^2}{n!} \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2-9}{n^3}[/mm]
>
>
>
> Guten Abend,
>
> habe bei diesen zwei Aufgaben das Problem das, bei beiden, das
> Quotientenkriterium nicht funktioniert.
Warum soll bei der ersten Reihe das Quotientenkriterium nicht funktionieren?
[mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n} = \bruch{2^{n+1} (n+1)^2}{(n+1)!} * \bruch{n!}{2^nn^2} = \bruch{2(n+1)}{n^2}[/mm]
> Bei der Zweiten hatte ich mir überlegt:
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2-9}{n^3}[/mm] =
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1-9/n^2}{n}[/mm]
>
> Da mann weiss das die Reihe [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm]
>
> divigiert wollte ich diese als Minorante wählen nur
> funktioniert dies ja auch nicht da
>
> 1/n > [mm]\bruch{1-9/n^2}{n}[/mm] .
Das schon, aber wie ist es mit [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}[/mm]?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
> Warum soll bei der ersten Reihe das Quotientenkriterium
> nicht funktionieren?
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n} = \bruch{2^{n+1} (n+1)^2}{(n+1)!} * \bruch{n!}{2^nn^2} = \bruch{2(n+1)}{n^2}[/mm]
>
Soweit war ich dann auch und habe dann so weiter gemacht
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{2(n+1)}{n^2} [/mm] =
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{2}{n} [/mm] + [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n^2}=0
[/mm]
aber ich dachte das, das Ergebnis nach der Definition vom Quotientenkriterium 0 < [mm] \phi [/mm] < 1 sein muss damit die Reihe konvergiert,zumindestens steht es so im Forster.
Zur Zweiten:
Wir hatten mal so eine ähnliche in der Übung besprochen.Nur da hatte ich das auch noch nicht so verstanden wie ich den jetzt zeige das
$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n} [/mm] $ eine Minorante ist.
Danke nochmal für die schnelle Hilfe
Gruss
Dave
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Hallo Dave,
>
> > Warum soll bei der ersten Reihe das Quotientenkriterium
> > nicht funktionieren?
> >
> > [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n} = \bruch{2^{n+1} (n+1)^2}{(n+1)!} * \bruch{n!}{2^nn^2} = \bruch{2(n+1)}{n^2}[/mm]
>
> >
>
> Soweit war ich dann auch und habe dann so weiter gemacht
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{2(n+1)}{n^2}[/mm] =
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{2}{n}[/mm] + [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n^2}=0[/mm]
>
> aber ich dachte das, das Ergebnis nach der Definition vom
> Quotientenkriterium 0 < [mm]\phi[/mm] < 1 sein muss damit die
> Reihe konvergiert,zumindestens steht es so im Forster.
Soweit ich weiß, reicht für absolute Konvergenz der Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] die Existenz von [mm] $1>q=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
[/mm]
(Königsberger)
Also 0 tut's als q auch 
> Zur Zweiten:
> Wir hatten mal so eine ähnliche in der Übung
> besprochen.Nur da hatte ich das auch noch nicht so
> verstanden wie ich den jetzt zeige das
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}[/mm] eine Minorante ist.
Zunächst ist für [mm] $n\ge [/mm] 5$:
[mm] $1-\frac{9}{n^2}>\frac{1}{2}$
[/mm]
Also [mm] $\frac{1-\frac{9}{n^2}}{n}>\frac{1}{2n}$
[/mm]
Damit [mm] $\sum\frac{n^2-9}{n^3}=\sum\frac{1-\frac{9}{n^2}}{n}>\sum\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{n}$
[/mm]
Und wenn [mm] \sum\frac{1}{n} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] divergiert, so sicherlich auch [mm] \frac{1}{2}\sum\frac{1}{n}
[/mm]
Also hast du mit [mm] \frac{1}{2}\sum\frac{1}{n} [/mm] eine divergente Minorante zu deiner Reihe gefunden
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
Alles klar ,jetzt habe ich das verstanden mit der Minorante.
Wenn mann es anständig erklärt bekommt dann ist es auch verständlich.Und dann ist die erste ja wirklich kein Problem.
Vielen Dank für die schnelle Hilfe
Gruss Dave
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