Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Do 01.12.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey ich hab hier mal ne Aufgabe auf die ich nicht ganz klarkomme...! Kann mir jemand helfen?
Sei [mm] |x| < 1 [/mm]. Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt der Reihe [mm] \sum_{i=0}^{\infty} x^i [/mm] mit sich selbst die Reihe [mm] \sum_{i=0}^{\infty} \left( i+1 \right) x^i [/mm] ist, und dass deren Grenzwert genau [mm] \bruch{1}{\left( 1-x\right)^2} [/mm] ist.
Gruß Mitch
|
|
| |
|
Hallo Mitch,
> Hey ich hab hier mal ne Aufgabe auf die ich nicht ganz
> klarkomme...! Kann mir jemand helfen?
>
> Sei [mm]|x| < 1 [/mm]. Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt der Reihe
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] mit sich selbst die Reihe
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty} \left( i+1 \right) x^i[/mm] ist, und dass
> deren Grenzwert genau [mm]\bruch{1}{\left( 1-x\right)^2}[/mm] ist.
da steht doch schon alles da. Die Reihe ist die geometrische Reihe und deren Grenzwert sollte bekannt sein.
Weiterhin darf man die Grenzwerte zweier konvergenter Reihen multiplizieren.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Fr 02.12.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey MathePower. Du hast mich schonmal auf den richtige Weg gebracht. Bei der Reihe $ [mm] \sum_{i=0}^{\infty} x^i [/mm] $ handelt es sich um die geometrische Reihe. Da |x| < 1 besitzt diese Reihe somit den Grenzwert [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm]. Die Reihe mit sich selber multipliziert hat dann natürlich den Grenzwert $ [mm] \bruch{1}{\left( 1-x\right)^2} [/mm] $ !
Aber wieso ergibt die Reihe $ [mm] \sum_{i=0}^{\infty} x^i [/mm] $ mit sich selbst multipliziert die Reihe $ [mm] \sum_{i=0}^{\infty} \left( i+1 \right) x^i [/mm] $ ??? Das hat natürlich was mit dem Cauchy Produkt zu tun, aber wie forme ich das Produkt so um, dass die gewünschte Reihe rausbekomme?
Muss ich eigentlich vorher noch zeigen, dass die Reihe $ [mm] \sum_{i=0}^{\infty} x^i [/mm] $ konvergent ist, bevor ich das Cauchyprodukt anwende?
Gruß Michi
|
|
|
| |
|
> Aber wieso ergibt die Reihe [mm]\sum_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] mit
> sich selbst multipliziert die Reihe [mm]\sum_{i=0}^{\infty} \left( i+1 \right) x^i[/mm]
> ??? Das hat natürlich was mit dem Cauchy Produkt zu tun,
> aber wie forme ich das Produkt so um, dass die gewünschte
> Reihe rausbekomme?
Hallo,
( [mm] \summe_{i=0}^{\infty}x^i)( \summe_{i=0}^{\infty}x^i)=\summe_{i=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{i}x^{i-k}x^k [/mm] (Cauchyprodukt)
[mm] =\summe_{i=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{i}x^i [/mm]
Nun guck Dir [mm] \summe_{k=0}^{i}x^i [/mm] an. Beachte: der Summationsindex ist k, nicht i.
> Muss ich eigentlich vorher noch zeigen, dass die Reihe
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] konvergent ist, bevor ich das
> Cauchyprodukt anwende?
Du mußt erwähnen, daß Du es mit der geometrischen Reihe zu tun hast und daß |x|<1. Die Konvergenz der geometrischen Reihe ZEIGEN mußt Du nicht, sofern irgendwann in der Vorlesung die Konvergenz gezeigt wurde.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:31 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey erstmal danke für die Antwort.
Ich bin mir aber imemrnoch nicht ganz sicher, ist meine folgende Überlegung so richtig?
Man verschiebt bei der Reihe $ [mm] \summe_{k=0}^{i}x^i [/mm] $ den Summationsindex und erhält: $ [mm] \summe_{k=1}^{i+1}x^i [/mm] $ ,damit erhält man die Summe [mm] x^i [/mm] + [mm] x^i [/mm] + [mm] x^i [/mm] .... [mm] x^i [/mm] und das genau (i+1) mal und somit = [mm] (i+1)x^i [/mm]
Damit hätte man dann auch die gewünschte Reihe $ [mm] \sum_{i=0}^{\infty} \left( i+1 \right) x^i [/mm] $
Ist das so richtig?
Gruß Mitch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Mo 05.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Mitch!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
|
|
|
|
