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| Aufgabe | Man habe einen m³ Tonzur Verfügung, nehme davon die Hälfte weg und forme aus ihr einen Würfel. Die übriggebliebene Hälfte halbiere man wieder und forme aus ihr einen weiteren Würfel usw. Dies mache man n-mal und stelle die so entstandenen n Würfel Seitenfläche an Seitenfläche nebeneinander auf.
Wie lang ist die entstandene Würfelreihe?
Welche Länge erhält man für [mm] n\to \infty [/mm] ? |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Irgendwie komme ich mit der Aufgabe nicht so recht weiter, vielleicht kann mit ja einer etwas weiterhelfen.
Mein Ansatz lautet:
[mm] a_{0}=100 [/mm] (cm³)
[mm] a_{1}=(\bruch{a_{0}³}{2})^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
somit [mm] a_{n}=(\bruch{a_{n-1}³}{2})^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Liege ich soweit richtig oder hab ich mich schon vertan?
Wie verfahre ich ab hier weiter?
Vielen Dank.
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> Man habe einen m³ Ton zur Verfügung, nehme davon die Hälfte
> weg und forme aus ihr einen Würfel. Die übriggebliebene
> Hälfte halbiere man wieder und forme aus ihr einen weiteren
> Würfel usw. Dies mache man n-mal und stelle die so
> entstandenen n Würfel Seitenfläche an Seitenfläche
> nebeneinander auf.
> Wie lang ist die entstandene Würfelreihe?
> Welche Länge erhält man für [mm]n\to \infty[/mm] ?
Hallo,
> Mein Ansatz lautet:
> [mm]a_{0}=100[/mm] (cm³)
es ist zwar fürs Verständnis absolut unwichtig, aber [mm] 1m^3 \not=100cm^3, [/mm] sondern [mm] 1m^3=1*(100cm)^3=1000000cm^3.
[/mm]
Aber ich würde in m rechnen, das ist doch behaglicher...
Man hat also einen Tonwurfel mit der Kantenlänge
[mm] a_0=1 [/mm] (eigentlich 1m)
Die Kantenlänge des ersten Würfels ist
> [mm]a_{1}=(\bruch{a_{0}³}{2})^{\bruch{1}{3}}[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{2})^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
>
> somit [mm]a_{n}=(\bruch{a_{n-1}³}{2})^{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> Liege ich soweit richtig oder hab ich mich schon vertan?
Das stimmt.
Nun kannst Du zeigen: [mm] a_n=(\bruch{1}{2^n})^{\bruch{1}{3}}.
[/mm]
Nun will man wissen, wie lang die Würfelreihe ist.
Also aufsummieren von 1 bis n bzw. 1 bis [mm] \infty [/mm] für [mm] n---->\infty.
[/mm]
Ein kleiner Trick ist hierfür nützlich:
Wenn Du die Reihen aufgeschrieben hast, kannst Du Dir drei Teilreihen daraus machen:
[mm] \summe a_i= \summe a_{3i-2}+\summe a_{3i-1}+\summe a_{3i}
[/mm]
Noch etwas später kannst du die geometrische Reihe gebrauchen.
Gruß v. Angela
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