Reihe vs. Partialsummenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Folge [mm] (a_{n}) [/mm] = 1,3,6,12,24,... |
Wenn ich dazu die Reihe bilde, was mache dann?
Mache ich: 1 + 3 + 6 + 12 + 24 + ...
oder mache ich: 1,4,10,22,36,...
Welche der beiden Schreibweisen ist denn nun die Reihe? Und falls beide die Reihe sind: Wieso ist die zweite Möglichkeit eine Reihe, wenn doch die Reihe eine Summe ist?
Und was ist dann die Partialsumme der Reihe?
Die Begriffe verwirren mich etwas.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Fr 18.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Machen wirs kurz: gegeben sei eine Folge [mm] (a_n)=(a_1,a_2,a_3,...). [/mm] Daraus basteln wir uns eine neue Folge [mm] (s_n), [/mm] wobei
[mm] $s_n:=a_1+a_2+...+a_n$ [/mm] , $ (n [mm] \in \IN)$.
[/mm]
Für die Folge [mm] (s_n) [/mm] schreibt man auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n.
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] heißt eine unendliche Reihe. [mm] s_n [/mm] ist die n - te Partialsumme dieser Reihe.
FRED
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Okay... ich glaube, was mich verwirrt ist das [mm] s_{n} [/mm] eine Folge ist, aber zwischen den Gliedern ein + steht und nicht ein Komma.
Und wieso schreibt man für [mm] s_{n} [/mm] auch [mm] \summe_{n = 1}^{\infty}, [/mm] wenn es doch eine endliche Summe von Gliedern ist und keine unendliche?
Gibt es auch endliche Reihen?
Und was ist der Unterschied zwischen der n-ten Partialsumme der Reihe und der n-ten Partialsumme der verwendeten Folge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Fr 18.09.2015 | | Autor: | abakus |
> Okay... ich glaube, was mich verwirrt ist das [mm]s_{n}[/mm] eine
> Folge ist, aber zwischen den Gliedern ein + steht und nicht
> ein Komma.
>
Das ist völlig falsch.
Die Glieder von [mm] $s_n$ [/mm] sind
1,(1+3),(1+3+6), (1+3+6+12) , ...
Da siehst du viele rote Kommas...
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Also jetzt blick ich's nicht mehr...
Wird die Reihe jetzt so geschrieben: 1+3+6+12...
oder so: 1,(1+3),(1+3+6), (1+3+6+12),...
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 So 20.09.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Vokabulator!
Gegeben sei eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n\in\IR. [/mm]
Die entsprechende Reihe mit den Gliedern [mm] a_n [/mm] ist das Symbol
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}a_n$.
[/mm]
Die Zahlen
[mm] S_1=a_1 [/mm]
[mm] S_2=a_1+a_2 [/mm]
[mm] \ldots [/mm]
[mm] S_n=\summe_{k=1}^{n}a_n [/mm]
heißen Partialsummen der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n. [/mm]
Diese bilden eine weitere Folge [mm] (S_n)_{n\in\IN}, [/mm] die sogenannte Partialsummenfolge.
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] heißt konvergent, falls ihre Partialsummenfolge [mm] (S_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert.
Die Summe der Reihe ist der Grenzwert der Folge [mm] (S_n)_{n\in\IN}. [/mm]
Es gilt bei Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n=a:=\limes_{N\rightarrow\infty}S_N=\limes_{N\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{N}a_n
[/mm]
Das Symbol [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] hat demnach zwei verschiedene Bedeutungen.
Die Reihe als solche und NUR im Konvergenzfall die Summe der Reihe.
Kommen wir nun zu deiner Folge
[mm] $(a_n):=(1,3,6,12,24,\ldots)$.
[/mm]
Die entsprechende Reihe mit den Gliedern [mm] a_n [/mm] ist gegeben durch
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}a_n=1+3+6+\ldots$.
[/mm]
Die Zahlen
[mm] $S_1=a_1=1$
[/mm]
[mm] $S_2=a_1+a_2=1+3=4$
[/mm]
[mm] $S_3=a_1+a_2+a_3=1+3+6=10$
[/mm]
[mm] \ldots
[/mm]
[mm] $S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n$
[/mm]
heißen Partialsummen der Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$.
[/mm]
Diese bilden eine weitere Folge [mm] $(S_n)_{n\in\IN}$, [/mm] die sogenannte Partialsummenfolge. Also:
[mm] $(S_n)=(1,4,10,\ldots)$.
[/mm]
Frage: Konvergiert [mm] $(S_n)$?
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 So 20.09.2015 | | Autor: | abakus |
> Also jetzt blick ich's nicht mehr...
>
> Wird die Reihe jetzt so geschrieben: 1+3+6+12...
Nein, das ist nicht die gesamte Reihe, sondern nur ein einzelnes Element der Reihe. Welches Elemnet es konkret ist hängt davon ab, wie weit du bei ... gehen willst.
>
> oder so: 1,(1+3),(1+3+6), (1+3+6+12),...
Das ist der Anfang deiner Reihe. Die Reihe ist eine Folge von Partialsummen, und von dieser Folge von Partialsummen wurden bis zu ... die ersten 4 Glieder konkret aufgelistet.
>
> ?
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> Machen wirs kurz: gegeben sei eine Folge
> [mm](a_n)=(a_1,a_2,a_3,...).[/mm] Daraus basteln wir uns eine neue
> Folge [mm](s_n),[/mm] wobei
>
> [mm]s_n:=a_1+a_2+...+a_n[/mm] , [mm](n \in \IN)[/mm].
>
>
> Für die Folge [mm](s_n)[/mm] schreibt man auch [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n.[/mm]
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Kleiner Schreibfehler, der aber verwirren kann. Besser:
Für die Folge [mm](s_n)[/mm] schreibt man auch [mm](\summe_{\red{k}=1}^{\red{n}}a_\red{k}).[/mm]
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>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] heißt eine unendliche Reihe. [mm]s_n[/mm]
> ist die n - te Partialsumme dieser Reihe.
>
> FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 So 20.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Machen wirs kurz: gegeben sei eine Folge
> > [mm](a_n)=(a_1,a_2,a_3,...).[/mm] Daraus basteln wir uns eine neue
> > Folge [mm](s_n),[/mm] wobei
> >
> > [mm]s_n:=a_1+a_2+...+a_n[/mm] , [mm](n \in \IN)[/mm].
> >
> >
> > Für die Folge [mm](s_n)[/mm] schreibt man auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n.[/mm]
> -----------------------------------------------------
> Kleiner Schreibfehler, der aber verwirren kann. Besser:
>
> Für die Folge [mm](s_n)[/mm] schreibt man auch
> [mm](\summe_{\red{k}=1}^{\red{n}}a_\red{k}).[/mm]
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Nein, ich habs so gemeint, wie ich oben schrieb !
Fred
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] heißt eine unendliche Reihe. [mm]s_n[/mm]
> > ist die n - te Partialsumme dieser Reihe.
> >
> > FRED
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> > > Machen wirs kurz: gegeben sei eine Folge
> > > [mm](a_n)=(a_1,a_2,a_3,...).[/mm] Daraus basteln wir uns eine neue
> > > Folge [mm](s_n),[/mm] wobei
> > >
> > > [mm]s_n:=a_1+a_2+...+a_n[/mm] , [mm](n \in \IN)[/mm].
> > >
> > >
> > > Für die Folge [mm](s_n)[/mm] schreibt man auch
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n.[/mm]
> > -----------------------------------------------------
> > Kleiner Schreibfehler, der aber verwirren kann. Besser:
> >
> > Für die Folge [mm](s_n)[/mm] schreibt man auch
> > [mm](\summe_{\red{k}=1}^{\red{n}}a_\red{k}).[/mm]
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>
> Nein, ich habs so gemeint, wie ich oben schrieb !
>
> Fred
>
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> > >
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] heißt eine unendliche Reihe. [mm]s_n[/mm]
> > > ist die n - te Partialsumme dieser Reihe.
> > >
> > > FRED
> >
>
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Dann wäre also für [mm] a_n=\bruch{1}{2^n}
[/mm]
[mm] (s_n)=(\summe_{n=1}^{\infty}a_n)=(2) [/mm] ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Mo 21.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > > Machen wirs kurz: gegeben sei eine Folge
> > > > [mm](a_n)=(a_1,a_2,a_3,...).[/mm] Daraus basteln wir uns eine neue
> > > > Folge [mm](s_n),[/mm] wobei
> > > >
> > > > [mm]s_n:=a_1+a_2+...+a_n[/mm] , [mm](n \in \IN)[/mm].
> > > >
> > > >
> > > > Für die Folge [mm](s_n)[/mm] schreibt man auch
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n.[/mm]
> > >
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> > > Kleiner Schreibfehler, der aber verwirren kann.
> Besser:
> > >
> > > Für die Folge [mm](s_n)[/mm] schreibt man auch
> > > [mm](\summe_{\red{k}=1}^{\red{n}}a_\red{k}).[/mm]
> > >
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> >
> > Nein, ich habs so gemeint, wie ich oben schrieb !
> >
> > Fred
> >
> >
> > > >
> > > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] heißt eine unendliche Reihe. [mm]s_n[/mm]
> > > > ist die n - te Partialsumme dieser Reihe.
> > > >
> > > > FRED
> > >
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>
> Dann wäre also für [mm]a_n=\bruch{1}{2^n}[/mm]
> [mm](s_n)=(\summe_{n=1}^{\infty}a_n)=(2)[/mm] ?
> ---------------------------------------------------
Nochmal: ist [mm] (a_n) [/mm] eine reelle oder komplexe Folge und
[mm] s_n:=a_1+a_2+...+a_n [/mm] für n [mm] \in \IN,
[/mm]
so nennt man [mm] (s_n) [/mm] eine unendliche Reihe. Statt [mm] (s_n) [/mm] schreibt man auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n.
[/mm]
Das ist die übliche(!) Bezeichnungsweise in der (Hochschul-)Mathematik. Ich habe dies Def. und Bezeichngen nicht erfunden !
Ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergent, d.h. [mm] (s_n) [/mm] ist konvergent, so schreibt man für den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_n [/mm] ebenfalls [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n.
[/mm]
Das ist schlecht, das gebe ich zu, aber üblich ist es. Schlecht deshalb, weil im Konvergenzfall das Symbol [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] doppelt belegt ist:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] bez. sowohl die Folge [mm] (s_n) [/mm] , als auch ihren Limes.
Man mag es bedauern, aber ändern wird man es wohl kaum.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Mo 21.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Nochmal etwas zur doppelten Bedeutung von $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] $:
ein Beispiel: sei q [mm] \in \IR [/mm] und |q|<1. Dann ist
(1) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] $ konvergent
und es gilt
(2) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}$ [/mm] .
Hier ist [mm] s_n=1+q+q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.
[/mm]
In (1) bedeutet $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] $ die Folge [mm] (s_n).
[/mm]
In (2) bedeutet $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] $ den Grenzwert der Folge [mm] (s_n).
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Mo 21.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HJKweseleit!
> Dann wäre also für [mm]a_n=\bruch{1}{2^n}[/mm]
> [mm](s_n)=(\summe_{n=1}^{\infty}a_n)=(2)[/mm] ?
Nein und dies hat Fred auch nicht behauptet.
Du musst dich entscheiden, welche der beiden von Fred ausführlich erklärten Bedeutungen von [mm] $\summe_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] du innerhalb dieser geplanten Gleichungskette meinst:
1. Möglichkeit: Du meinst [mm] $\lim_{n\to\infty}s_n$.
[/mm]
Dann stimmt das rechte Gleichheitszeichen deiner Gleichungskette, jedoch das linke nicht.
2. Möglichkeit: Du meinst die Folge [mm] $(s_n)_{n\in\IN}$.
[/mm]
Dann sind [mm] $(s_n)$ [/mm] und [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] jeweils Schreibweisen für die Folge [mm] $(s_n)_{n\in\IN}$.
[/mm]
Es gilt also insbesondere [mm] $(s_n)=\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] (ohne Klammern rechts vom Gleichheitszeichen!).
Das rechte Gleichheitszeichen deiner Gleichungskette stimmt bei der 2. Möglichkeit nicht.
Viele Grüße
Tobias
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