Reihe fürPeriodische Binärzahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:08 Di 28.04.2015 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Dezimaldarstellung der periodischen Binärzahlen:
d) [mm] $(0,0\overline{1})_2$
[/mm]
e) [mm] $(0,\overline{01})_2$ [/mm] |
Hallo,
bei den beiden Teilaufgaben komme ich irgendwie nicht weiter ...
Meine Lösung:
[mm] \textbf{d)}
[/mm]
[mm] $(0,0\overline{1})_2 [/mm] = [mm] (0,0111\cdots)_2$
[/mm]
$ = (0 [mm] \cdot 2^0 [/mm] + 0 [mm] \cdot 2^{-1} [/mm] + 1 [mm] \cdot 2^{-2} [/mm] + 1 [mm] \cdot 2^{-3} [/mm] + 1 [mm] \cdot 2^{-4} [/mm] + [mm] \cdots)_{10}$
[/mm]
$ = [mm] (2^{-2} [/mm] + [mm] 2^{-3} [/mm] + [mm] 2^{-4} [/mm] + [mm] \cdots)_{10}$
[/mm]
$ = [mm] (\frac{1}{2^2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2^3} [/mm] + [mm] \frac{1}{2^4} [/mm] + [mm] \cdots)_{10}$
[/mm]
Allgemeines Folgenglied:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{2^n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (0,0\overline{1})_2 [/mm] = [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^n} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
Genau hier fehlt mir der Schritt zwischen der Summe und [mm] $\frac{1}{2}$.
[/mm]
Ich müsste doch hier die Partialsumme nehmen und den Grenzwert dafür bestimmen, oder? Dafür fehlt mir aber die Formel für die Summe.
Partialsumme + Grenzwert:
[mm] $(0,0\overline{1})_2 [/mm] = [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \summe_{n=2}^{N} \frac{1}{2^n} [/mm] = [mm] \mbox{ [hier ist meine Lücke] } [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] \textbf{e)} [/mm] Hier fehlt mir genauso die Formel für die Summe:
[mm] $(0,\overline{01})_2 [/mm] = [mm] (0,010101\cdots)_2$
[/mm]
$ = (0 [mm] \cdot 2^0 [/mm] + 0 [mm] \cdot 2^{-1} [/mm] + 1 [mm] \cdot 2^{-2} [/mm] + 0 [mm] \cdot 2^{-3} [/mm] + 1 [mm] \cdot 2^{-4} [/mm] + 0 [mm] \cdot 2^{-5} [/mm] + 1 [mm] \cdot 2^{-6} [/mm] + [mm] \cdots)_{10}$
[/mm]
$ = [mm] (2^{-2} [/mm] + [mm] 2^{-4} [/mm] + [mm] 2^{-6} [/mm] + [mm] \cdots)_{10}$
[/mm]
$ = [mm] (\frac{1}{2^2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2^4} [/mm] + [mm] \frac{1}{2^6} [/mm] + [mm] \cdots)_{10}$
[/mm]
Allgemeines Folgenglied:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{2^{2n}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (0,\overline{01})_2 [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}$
[/mm]
Partialsumme + Grenzwert:
[mm] $(0,\overline{01})_2 [/mm] = [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{N} \frac{1}{2^{2n}} [/mm] = [mm] \mbox{ [hier ist meine Lücke] } [/mm] = [mm] \frac{1}{3}$
[/mm]
Kann mir bitte jemand sagen, wie ich die Lücke füllen kann? Es müsste doch dafür eine bekannte Reihe schon geben oder?
Vielen Dank vorab
Liebe Grüße
Asg
[mm] $\color{red}{Edit:} [/mm] $
Ok, nun habe ich es herausbekommen: Ich kannte zwar die geometrische Reihe, aber ich war wohl etwas durcheinander ...
Die geometrische Reihe hat ja die Form [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} q^n, [/mm] q [mm] \in \mathbb{R}$
[/mm]
Für ihre Partialsumme gilt allgemein:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} q^n [/mm] = [mm] \frac{1-q^{n+1}}{1-q}, [/mm] q [mm] \in \mathbb{R}$
[/mm]
Für [mm] $\vert [/mm] q [mm] \vert<1$ [/mm] gilt somit:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} q^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}, [/mm] q [mm] \in \mathbb{R}$
[/mm]
Die Lösung für [mm] \textbf{d)} [/mm] sieht nun so aus:
$q = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1-\frac{1}{2}} [/mm] = 2$
Da aber die Folge erst für $n=2$ beginnt, müssen die Werte für $n=0$ und $n=1$ von der Reihe wieder abgezogen werden:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1-\frac{1}{2}} [/mm] - [mm] \frac{1}{2^0} [/mm] - [mm] \frac{1}{2^1}= [/mm] 2 - 1 - [mm] \frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
Die Lösung für [mm] \textbf{e)} [/mm] sieht ähnlich aus:
$q = [mm] \frac{1}{4}$
[/mm]
Zunächst nehme ich [mm] $\frac{1}{4^0}$ [/mm] in der Folge auf, damit ich die allgemeine Formel anwenden kann und zum Schluss ziehe ich es wieder ab.
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1-\frac{1}{4}} [/mm] = [mm] \frac{4}{3}$
[/mm]
Nun [mm] $\frac{1}{4^0}$ [/mm] bzw. $1$ wird von der Reihe wieder abgezogen:
[mm] $\frac{4}{3} [/mm] - 1 = [mm] \frac{1}{3}$
[/mm]
Sieht jemand einen Fehler in der Lösung?
Tut mir leid, dass der Text so lang geworden ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:53 Di 28.04.2015 | | Autor: | fred97 |
1. Formel:
für |q|<1 ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n=\bruch{1}{1-q}
[/mm]
2. Beispiel:
ist q=1/2, so ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^n}=2
[/mm]
3. [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{2^n}= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^n}-\bruch{1}{2}-1 [/mm] =?
4. (e) schaffst Du nun selbst.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:09 Di 28.04.2015 | | Autor: | asg |
Guten Morgen,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Da haben wir wohl gleichzeitig geschrieben s. Edit.
Soweit ich es sehe, habe ich dann keinen Fehler gemacht - DANKE! 
Liebe Grüße
Asg
> 1. Formel:
>
> für |q|<1 ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}q^n=\bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> 2. Beispiel:
>
> ist q=1/2, so ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^n}=2[/mm]
>
> 3. [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{2^n}= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^n}-\bruch{1}{2}-1[/mm]
> =?
>
> 4. (e) schaffst Du nun selbst.
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:26 Di 28.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Da haben wir wohl gleichzeitig geschrieben s. Edit.
>
> Soweit ich es sehe, habe ich dann keinen Fehler gemacht -
nein, hast Du nicht.
FRED
> DANKE!
>
> Liebe Grüße
>
> Asg
>
> > 1. Formel:
> >
> > für |q|<1 ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}q^n=\bruch{1}{1-q}[/mm]
> >
> > 2. Beispiel:
> >
> > ist q=1/2, so ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^n}=2[/mm]
> >
> > 3. [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{2^n}= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^n}-\bruch{1}{2}-1[/mm]
> > =?
> >
> > 4. (e) schaffst Du nun selbst.
> >
> > FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Di 28.04.2015 | | Autor: | asg |
Hallo,
alles klar. Dankeschön für die Unterstützung.
Viele Grüße
Asg
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