Reihe Konv. od. Div II? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=2}^{\infty} (\wurzel{k}-\wurzel{k-1}) [/mm] |
Ist die Reihe konvergenz oder divergent?
Mein Ansatz wäre, wenn k gegen [mm] \infty [/mm] läuft, dann ist die -1 in der zweiten Wurzel zu vernachlässigen und das ganze läuft gegen 0, womit die Reihe konvergent wäre.
Ist diese Idee richitg, und wenn ja, wie schreibe ich das als Gleichung auf?
Greetz
Ganzir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Di 12.05.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
mir würde hier spontan der Begriff der Teleskopsumme einfallen. Schreibe dir doch mal die ersten Reihenglieger auf:
$ [mm] \summe_{k=2}^{\infty} (\wurzel{k}-\wurzel{k-1}) [/mm] $
[mm] =(\wurzel{2}-\wurzel{1})+(\wurzel{3}-\wurzel{2})+(\wurzel{4}-\wurzel{3})+(\wurzel{5}-\wurzel{4})+...
[/mm]
Was kannst du beobachten?
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] =(\wurzel{2}-\wurzel{1})+(\wurzel{3}-\wurzel{2})+(\wurzel{4}-\wurzel{3})+(\wurzel{5}-\wurzel{4})+... [/mm] $ |
Hallo barsch,
Ich beobachte, dass alles bis auf [mm] -\wurzel{1} [/mm] "wegsubtrahiert" wird.... da [mm] -\wurzel{1} [/mm] = -1 ist meine Reihe konvergent mir Grenzwert -1?
Sehe ich das richtig?
Greetz
Ganzir
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Hallo ganzir,
>
> [mm]=(\wurzel{2}-\wurzel{1})+(\wurzel{3}-\wurzel{2})+(\wurzel{4}-\wurzel{3})+(\wurzel{5}-\wurzel{4})+...[/mm]
> Hallo barsch,
>
> Ich beobachte, dass alles bis auf [mm]-\wurzel{1}[/mm]
> "wegsubtrahiert" wird.... da [mm]-\wurzel{1}[/mm] = -1 ist meine
> Reihe konvergent mir Grenzwert -1?
Hmm, bei unendlichen Summen ist das gefährlich, so umsortieren kannst du nur bei (absolut) konvergenten Reihen
>
> Sehe ich das richtig?
Eine m.E. bessere Herangehensweise ist, den Ausdruck [mm] $\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$ [/mm] mit [mm] $\blue{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}$ [/mm] zu erweitern, ein gängiger "Trick", um lästige Wurzelsummen und -differenzen loszuwerden (3. binom. Formel)
Das gibt dir [mm] $\sum\frac{(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})\cdot{}\blue{(\sqrt{k}+\sqrt{k-1})}}{\blue{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}}=\sum\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}$
[/mm]
Und die Reihe sieht doch schon äußerst divergent aus, versuche, gegen eine (Variante der) harmonischen Reihe abzuschätzen, also die Reihe mit einer Abschätzung zu verkleinern, so dass du mit einer harmonischen Reihe eine divergente Minorante hast.
Bedenke, dass [mm] $\sqrt{k-1}<\sqrt{k}$ [/mm] ...
>
> Greetz
Wer?
> Ganzir
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | versuche, gegen eine (Variante der) harmonischen Reihe abzuschätzen, also die Reihe mit einer Abschätzung zu verkleinern, so dass du mit einer harmonischen Reihe eine divergente Minorante hast. |
Ist bestimmt ne gute Idee, nur weiß ich nicht, wie ich sowas in die Tat umsetze....
Die Harmonische Reieh [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] ist divergent ok ... und nun?
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Hallo nochmal,
> versuche, gegen eine (Variante der) harmonischen Reihe
> abzuschätzen, also die Reihe mit einer Abschätzung zu
> verkleinern, so dass du mit einer harmonischen Reihe eine
> divergente Minorante hast.
> Ist bestimmt ne gute Idee, nur weiß ich nicht, wie ich
> sowas in die Tat umsetze....
>
> Die Harmonische Reieh [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist
> divergent ok ... und nun?
Na, ich hatte doch nen Anfang hingeschrieben.
Es ist $\sqrt{k-1}<\sqrt{k}<k$
Also $\sum\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} \ > \ \sum\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k}$ erste Abschätzung
$=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{\sqrt{k}} \ > \ \frac{1}{2}\sum\frac{1}{k}$ zweite Abschätzung
Und wenn $\sum\frac{1}{k}$ divergent ist, also gegen $\infty$ strebt, so sicher auch $\frac{1}{2}\sum\frac{1}{k}$, oder?
Das meinte ich mit "Variante der harmonischen Reihe" ..
Also hast du mit $\frac{1}{2}\sum\frac{1}{k}$ eine divergente Minorante zu deiner Ausgangsreihe gefunden. Deine Reihe ist also div.
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Also $ \sum\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} \ > \ \sum\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k} $ erste Abschätzung
$ =\frac{1}{2}\sum\frac{1}{\sqrt{k}} \ > \ \frac{1}{2}\sum\frac{1}{k} $ zweite Abschätzung |
OK kann ich soweit nachvollziehen,
kannst du mir noch erklären, woher das \bruch{1}{2} vor der Reihe herkommt?
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Hallo nochmal,
> Also [mm]\sum\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} \ > \ \sum\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k}[/mm]
> erste Abschätzung
>
> [mm]=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{\sqrt{k}} \ > \ \frac{1}{2}\sum\frac{1}{k}[/mm]
> zweite Abschätzung
> OK kann ich soweit nachvollziehen,
>
> kannst du mir noch erklären, woher das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] vor der
> Reihe herkommt?
Das kannst du selbst, wenn du's mal nachrechnest, was steht denn nach der ersten Abschätzung da im Nenner? [mm] $\sqrt{k}+\sqrt{k}=2\sqrt{k}$
[/mm]
Und multiplikative Konstante kannst du ja aus der Summe ziehen ...
Gruß
schachuzipus
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