Reihe Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Fr 25.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{3^k} [/mm] |
Wenn ich nun z.B. solch eine Reihe habe.
Kann ich ja mit dem Wurzelkriterium herausfinden ob die Reihe konvergent ist und sie ist es.
Nun habe ich aber wieder das Problem, dass ich gar keinen Ansatz habe wie ich auf den Grenzwert komme.
Ich habe mir nun mal die Reihe ausgeschrieben:
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{27} [/mm] + [mm] \bruch{1}{81}...
[/mm]
Doch das hilft mir leider auch nicht so recht weiter..
Ein Schema der Vorgehensweise bei Grenzwerten von Reihen gibt es wohl nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Fr 25.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Nun dann graben wir mal eine ganz exotische Reihe aus der Mottenkiste: die sogenannte geometrische Reihe, die so gut wie nie in Vorlesungen behandelt wird.
Dabei handelt es sich um die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{ \infty}q^k.
[/mm]
Wie gesagt, in Vorlesungen wird heutzutage kaum noch gezeigt, dass diese Reihe genau dann konvergiert, wenn |q|<1 ist. In diesem Fall gilt für den Reihenwert:
[mm] \summe_{k=0}^{ \infty}q^k= \bruch{1}{1-q}
[/mm]
Bei Deiner Reihe ist q = was ?
Beachte auch noch, dass bei Dir die Summation mit k=1 und nicht mit k=0 beginnt.
Es grüßt der altertümliche FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Mo 28.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
q wäre ja hier = 1/3
Wäre dann 3/2 mein Grenzwert?
Gruß und Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> q wäre ja hier = 1/3
Ja
>
> Wäre dann 3/2 mein Grenzwert?
Nein. Was habe ich Dir geschrieben : " Beachte auch noch, dass bei Dir die Summation mit k=1 und nicht mit k=0 beginnt. "
FRED
>
> Gruß und Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Mo 28.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ah okay...also wärns dann die 3/2 - 1...da erst mit k=1 begonnen wird und somit ist der Grenzwert 1/2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ah okay...also wärns dann die 3/2 - 1...da erst mit k=1
> begonnen wird und somit ist der Grenzwert 1/2
Bingo
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 28.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
Noch aus reiner Verständnis:
würde nun meine Reihe heißen:
[mm] \summe_{i=1}^{k} \bruch{-1}{3^k}
[/mm]
Wäre ja q nicht 1/3 oder, da es ja hier nicht gleichzusetzen wäre mit (- [mm] 1/3)^k [/mm] oder?
Hier hätte ich ja dann nur Negative Werte...Wie kann ich hier vorgehen?
Danke
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> Noch aus reiner Verständnis:
>
> würde nun meine Reihe heißen:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{k} \bruch{-1}{3^k}[/mm]
>
> Wäre ja q nicht 1/3 oder, da es ja hier nicht
> gleichzusetzen wäre mit (- [mm]1/3)^k[/mm] oder?
genau, sonst wär der quotient für gerade k immer positiv, und ungerade negativ.
[mm] 1=1^k [/mm] stimmt, aber [mm] -1\not=(-1)^k
[/mm]
sondern [mm] -1=-(1)=-1^k
[/mm]
was also nichts anderes bedeutet, als das minus auszuklammern:
-($ [mm] \summe_{i=1}^{k} \bruch{1}{3^k} [/mm] $)
>
> Hier hätte ich ja dann nur Negative Werte...Wie kann ich
> hier vorgehen?
>
> Danke
gruß tee
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