Reihe/Folge Konvergenz/Grenzw. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Untersuchen sie die folgenden reihen auf konvergenz:
a)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}+5n}{3n^{3}+n^{2}-2}
[/mm]
b)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-1^{n}*n^{3}}{(3n-2)*e^{n}}
[/mm]
c)zeige dass es konvergiert und bestimme den grenzwert
cos( [mm] \bruch{(3n+1)\pi}{2n-3} [/mm] ) |
a)
quotientenkriterium.
am ende kommt bei mir 3/k raus
dieses konvergiert gegen 0. aber ob dieses 3/k jetzt kleiner oder größer 1 ist kann man ja nicht sagen.
ist auf jeden fall eine dicke rechnung. würde ich sie anfangen aufzuschreiben, wäre ich heute abend auch noch dran.
jemand lust nachzurechnen?
auf jeden fall habe ich
[mm] \parallel \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \parallel
[/mm]
benutzt
b)
da wollte ich nach leibnitz zeigen, dass es eine monoton fallende nullfolge ist. also ist zu zeigen:
0 [mm] \le a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}
[/mm]
und danach den grenzwert berechnen, oder?
wie berechne ich es am besten? mich stört das [mm] -1^{n} [/mm] etwas
c)
soll ich mich nur auf das innere der klammer beziehen?
denn drin erhalte ich [mm] (3/2)\pi
[/mm]
wenn ich es aber auf den cosinus anwende, erhalte ich 0
wäre der grenzwert also 0 ?
und wie zeige ich es am besten, dass es konvergiert
danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Mo 04.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen sie die folgenden reihen auf konvergenz:
>
> a)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}+5n}{3n^{3}+n^{2}-2}[/mm]
>
> b)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-1^{n}*n^{3}}{(3n-2)*e^{n}}[/mm]
>
> c)zeige dass es konvergiert und bestimme den grenzwert
>
> cos( [mm]\bruch{(3n+1)\pi}{2n-3}[/mm] )
> a)
> quotientenkriterium.
> am ende kommt bei mir 3/k raus
> dieses konvergiert gegen 0. aber ob dieses 3/k jetzt
> kleiner oder größer 1 ist kann man ja nicht sagen.
> ist auf jeden fall eine dicke rechnung. würde ich sie
> anfangen aufzuschreiben, wäre ich heute abend auch noch
> dran.
Was ist los ? Um das aufzuschreiben
[mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] bedarf es keiner dicken Rechnung ! (Es sei denn man multipliziert aus, was ich nicht täte)
Es gilt: [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] [mm] \to [/mm] 1 (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Das QK bringt also nix.
Zeige: [mm] a_n \ge \bruch{1}{4n} [/mm] für alle n.
> jemand lust nachzurechnen?
> auf jeden fall habe ich
> [mm]\parallel \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \parallel[/mm]
> benutzt
>
> b)
> da wollte ich nach leibnitz zeigen, dass es eine monoton
> fallende nullfolge ist. also ist zu zeigen:
> 0 [mm]\le a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm]
> und danach den grenzwert berechnen, oder?
> wie berechne ich es am besten? mich stört das [mm]-1^{n}[/mm]
> etwas
>
Besser: [mm](-1)^{n}[/mm]
Bessere Idee: Wurzelkriterium
>
> c)
> soll ich mich nur auf das innere der klammer beziehen?
> denn drin erhalte ich [mm](3/2)\pi[/mm]
> wenn ich es aber auf den cosinus anwende, erhalte ich 0
> wäre der grenzwert also 0 ?
> und wie zeige ich es am besten, dass es konvergiert
Stetigkeit des Cosinus:
[mm] a_n \to [/mm] a [mm] \Rightarrow cos(a_n) \to [/mm] cos(a)
FRED
>
>
> danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Aguero |
a)
>Zeige: $ [mm] a_n \ge \bruch{1}{4n} [/mm] $ für alle n.
wie kommst du darauf?
b)
dann komme ich auf -1/e und das ist ca -0,37
somit unter 1 und konvergiert
und der grenzwert?
oder ist es der grenzwert
|
|
|
| |
|
Hiho,
ein paar Hinweise noch zu deinen Ansätzen:
1.) Beim Leibnitzkriterium musst du zeigen, dass der Betrag der Folge eine monoton fallende Nullfolge ist! Nicht die Folge selbst (das stimmt bei einer alternierenden Folge ja auch gar nicht). Das [mm] (-1)^n [/mm] spielt also gar keine Rolle dafür und kann dich folglich auch nicht verwirren.
2.)
> >Zeige: [mm]a_n \ge \bruch{1}{4n}[/mm] für alle n.
> wie kommst du darauf?
Üben, üben, üben! Dann sieht man sowas mit der Zeit.
Wenn du dir deine Folge anschaust, sieht man schon auf Anhieb (woran?), dass sie sich für große n grob verhält, wie [mm] $\bruch{1}{3n}$.
[/mm]
Und was weißt du über [mm] $\summe\bruch{1}{3n}$? [/mm] Nur um dir klar zu machen, wie man auf den Ansatz kommt.
3.)
> wäre der grenzwert also 0 ?
> und wie zeige ich es am besten, dass es konvergiert
Wenn der Grenzwert existiert, konvergiert es!!
Das ist doch die Definition des Grenzwerts.....
MFG,
Gono.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Der Wert des Wurzelkrizeriums hat nichts mit dem Grenzwert / Reihenwert zu tun.
