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Reihe: Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:13 Do 07.06.2012
Autor: ConstantinJ

Aufgabe
Konvergiert die Reihe def. durch:
[mm] a_n [/mm] =  [mm] n!/n^{n} [/mm]   ?

Hier steh ich völlig auf dem Schlauch....
Meine Vermutung ist, dass sich die Reihe ähnlich wie [mm] \summe [/mm] 1/n  verfällt, hab aber keine Beweisidee, dass sie divergent ist.

        
Bezug
Reihe: Quotientenkriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Do 07.06.2012
Autor: wieschoo

Bietet sich nicht das Quotientenkriterium durch die ganzen Multiplikationen an?

[mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left| \frac{n^n}{(n+1)^n} \right|,\quad n\in\IN[/mm]

Und das sieht doch gut aus!

Bezug
                
Bezug
Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:25 Do 07.06.2012
Autor: ConstantinJ

Ok, danke ....
ich sitz schon den ganzen Tag an Aufgaben, da läufts nicht mehr so ganz rund.

Gruß

ConstantinJ

Bezug
                
Bezug
Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 Do 07.06.2012
Autor: Marcel

Hallo wieschoo,

> Bietet sich nicht das Quotientenkriterium durch die ganzen
> Multiplikationen an?
>  
> [mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left| \frac{n^n}{(n+1)^n} \right|,\quad n\in\IN[/mm]
>  
> Und das sieht doch gut aus!

ja, ich möchte nur drauf hinweisen, dass entgegen mancher Vermutungen hier nicht [mm] $1\,$ [/mm] im Grenzwert rauskommt - sondern:
Man suche nach einer altbekannten Folge, die gegen [mm] $e\,$ [/mm] konvergiert.

(Tipp: [mm] $n^n/(n+1)^n=1/\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=...$) [/mm]

@wieschoo: Mir ist schon klar, dass Dir(!) das klar war. ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Do 07.06.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Konvergiert die Reihe def. durch:
>  [mm]a_n[/mm] =  [mm]n!/n^{n}[/mm]   ?
>  Hier steh ich völlig auf dem Schlauch....
>  Meine Vermutung ist, dass sich die Reihe ähnlich wie
> [mm]\summe[/mm] 1/n  verfällt, hab aber keine Beweisidee, dass sie
> divergent ist.  

erstmal:
[mm] $$a_n=n!/n^n$$ [/mm]
definiert eine Folge [mm] $(a_n)_n\,.$ [/mm]

Die Reihe, von der Du sprichst, ist sicher
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}\,,$$ [/mm]
und da ist der Tipp mit dem QK eine gute, zielführende Idee!

Gruß,
  Marcel

Bezug
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