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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 So 17.10.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Sei [mm] a_n [/mm] eine Folge reeller Zahlen, welche der Bedingung [mm]\sum_{n=1}^\infty|a_{n+1}-a_n|<\infty [/mm] genügt. Zeige, dass es dann nach oben beschränkte (monotone) Folgen [mm] c_n [/mm] und [mm] d_n [/mm] gibt, sodass [mm] a_n= c_n-d_n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe disbezüglich keinerlei Idee, wie ich dies angehen soll.
Ich bitte einen von euch herzlich um einen Lösungshinweis bzw. ein gemeinsames Erarbeiten der Lösung! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Mo 18.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo clemenum
Diese Aufgabe kannst du "straight forward" angehen. Im wesentlichen definierst du [mm] $c_n$ [/mm] und [mm] $d_n$ [/mm] induktiv.
Es gibt beim Induktionsschritt zwei Moeglichkeiten:
i) Entweder ist [mm] $a_{n+1}\geq a_{n}$, [/mm] dann muss die Differenz [mm] $c_{n+1}-d_{n+1}$ [/mm] zunehmen. Mache in diesem Fall [mm] $c_{n+1}\geq c_n$ [/mm] und belasse [mm] $d_{n+1}=d_n$.
[/mm]
ii) oder [mm] $a_{n+1}
Mache in diesem Fall [mm] $d_{n+1}>d_{n}$ [/mm] und belasse [mm] $c_{n+1}=c_n$.
[/mm]
Die Bedingung garantiert, dass beide Folgen [mm] $c_n$ [/mm] und [mm] $d_n$ [/mm] beschraenkt bleiben.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Di 19.10.2010 | | Autor: | clemenum |
Vielen Dank für diese Erläuterung!
Ich habe jedoch eine Gegenfrage, auch wenn diese als eher unnötig erscheint: Wieso folgt aus [mm] $a_{n+1} \geq a_n$ [/mm] zwangsläufig, dass [mm] c_{n+1}-d_{n+1} [/mm] immer größer wird und wieso darf man die Folge [mm] (d_n) [/mm] als konstant belassen?
Mfg.
Clemenum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Di 19.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch aus der Def einfach [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] mal auf!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Di 19.10.2010 | | Autor: | clemenum |
Tut mir leid, aber kommende (dumme) Frage muss ich leider stellen:
Welche Definition meinst du, es kommt nur eine in Frage und diese ist [mm] $a_n=c_n-d_n$, [/mm] diese liegt jedoch schon in der Behauptung, daher darf ich diese nicht benutzen...
Lg.
Clemenum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 19.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich kannst zu jeder Zahl [mm] a_n [/mm] 2 Zahlen [mm] d_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] finden mit [mm] a_n=c_n-d_n
[/mm]
ebenso für [mm] a_{n+1}=c_{n+1}-d_{n+1} [/mm] erstmal noch frei gewählt. damit ist dann [mm] a_n-a_n+1=... [/mm] und du kannst die d und c jetzt entsprechend dem ersten post wählen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Di 19.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Einige Bemerkungen:
1. Im Gegensatz zu moudi bin ich überhaupt nicht der Meinung, dass man die Aufgabe "straight forward" angehen kann.
2. Die Tipps von moudi sind in meinen Augen nicht brauchbar.
Edit: obiges nehme ich zurück ! Siehe: https://matheraum.de/read?i=722779
3. Die Aufgabe ist alles andere als leicht. Die Schwierigkeit besteht darin, geeignete Folgen [mm] (c_n) [/mm] und [mm] (d_n) [/mm] zu finden, aber wie ?
4. Tipp:
[mm] $c_n:= \bruch{1}{2}(\summe_{i=1}^{n}|a_{i+1}-a_i| ~+a_n)$
[/mm]
[mm] $d_n:= \bruch{1}{2}(\summe_{i=1}^{n}|a_{i+1}-a_i| ~+a_n)$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Mi 20.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Fred97
Wieso sollen meine Tipps unbrauchbar sein?
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred97
>
> Wieso sollen meine Tipps unbrauchbar sein?
>
> mfG Moudi
Hallo Moudi,
Du schreibst: " .......... Im wesentlichen definierst du $ [mm] c_n [/mm] $ und $ [mm] d_n [/mm] $ induktiv. "
Was soll " im wesentlichen" bedeuten ? Definiere ich nun induktiv oder nicht ?
Und wie ?
Was ist der Induktionsanfang ?
Mach einfach mal vor. Ich sehe nicht, wie das gehen soll, das kann natürlich an meiner Blödheit liegen.
Falls ich Dir Unrecht getan haben sollte, werd ich mich selbstverständlich entschuldigen.
Also, zeig mal Deine Lösung.
Grüße FRED
P.S. das sollte eigentlich keine Frage werden .............
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Mi 20.10.2010 | | Autor: | moudi |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo fred97
Verankerung: n=1
Definiere $c_1=a_1$ und $d_1=0$
Induktionsschritt $n\to n+1$.
Ist $a_{n+1}\geq a_n$, dann definiere $c_{n+1}=c_n+a_{n+1}-a_n$ und $d_{n+1}=d_n$.
Es gilt $c_{n+1}\geq c_n$ und $d_{n+1}\geq d_n$ und weiter $c_{n+1}-d_{n+1}=c_n+a_{n+1}-a_{n}-d_{n}=c_{n}-d_{n}+a_{n+1}-a_{n}=a_{n}+a_{n+1}-a_{n}=a_{n+1}$. Hier wurde die Induktionsvoraussetzung $c_n-d_n=a_n$ benutzt.
Ist $a_{n+1}<a_{n}$, dann definiere $c_{n+1}=c_n$ und $d_{n+1}=d_n+{a_n}-a_{n+1}$.
Es gilt $c_{n+1}\geq c_n$ und $d_{n+1}>d_{n}$ und weiter $c_{n+1}-d_{n+1}=c_n-d_n-a_{n}+a_{n+1}=a_{n}-a_{n}+a_{n+1}=a_{n+1}$. Wieder wurde die Induktionsvoraussetzung benutzt.
Weiter ist $c_n-c_1=(c_{n}-c_{n-1})+(c_{n-1}-c_{n-2})+\dots+(c_2-c_1)$. Jeder Summand in einer Klammer ist von der Form $0$ oder $a_{k+1}-a_{k}$ fuer ein $k\in\{1,2,\dots,n-1\}$. Nach der Voraussetzung ist dann $c_n-c_1\leq\sum_{k}|{a_{k+1}-a_{k}|$ also beschraenkt.
Analog ist d_{n}-d_{1}=(d_n-d_{n-1})+(d_{n-1}-d_{n-2})+\dots+(d_2-d_1)$. Jeder Summand in einer Klammer ist von der Form \(0\) oder $a_{k}-a_{k+1}$ fuer ein $k\in\{1,2,\dots,n-1\}$. Wiederum gilt $d_{n}-d_1\leq\sum_k|a_{k+1}-a_{k}|$.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Hallo Moudi ,
Respekt, eine tadellose Lösung ! (aber "straight forward" ist das nicht so ganz )
Ich muß mich entschuldigen.
Grüße FRED
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