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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Di 31.10.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen gilt:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2$ [/mm] |
Mojn....
Ich verstehe einfach nicht, wie ich das zeigen soll, ich komme nicht auf den Trick.
Ich probiere es quasi mal aus, indem ich für n einen Maximalwert einsetze.
[mm] $\summe_{i=1}^{1}(2i-1)=(2*1-1)=1=1^2$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{2}(2i-1)=(2*1-1)+(2*2-1)=1+3=4=2^2$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{3}(2i-1)=(2*1-1)+(2*2-1)+(2*3-1)=1+3+5=9=3^2$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{4}(2i-1)=(2*1-1)+(2*2-1)+(2*3-1)+(2*4-1)=1+3+5+7=16=4^2$
[/mm]
Natürlich sehe ich den Anstieg - [mm] 1^2,2^2,3^2,4^2 [/mm] usw. Mir fällt auch auf, dass wir immer nur ungerade Zahlen addieren. Das bringt mich aber nicht wirklich dazu, zu zeigen, dass wir auf [mm] n^2 [/mm] kommen.
Wie ist der Trick?
Gruß Phoney
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Hallo Phoney!!!
...und einen schönen Nachmittag!!!
Ich werde nun mit Hilfe der Vollständigen Induktion folgende Aussage [mm]A[/mm] beweisen:
[mm]\summe_{i=1}^{n}(2i-1)=1+3+5+7+9...+2n-1=n^2[/mm]
Induktionsbeginn:
Indukitonsvorraussetzung: [mm]2*1-1=1 w.A.[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]A(n_0) wahr[/mm]
Induktionsschritt:
Indukitonsbehauptung: [mm]A(n)+2*(n+1)-1=A(n+1)[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]n^2+2*(n+1)-1=(n+1)^2[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]n^2+2n+2-1=n^2+2n+1^2[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]0=0w.A.[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]A(n)+2*(n+1)-1=A(n+1) wahr[/mm]
Induktionsschluss:
Aus [mm]A(n_0) wahr[/mm] und [mm]A(n)+2*(n+1)-1=A(n+1) wahr[/mm] folgt für alle [mm]n\in\IN[/mm] [mm]1+3+5+7+9...+2n-1=n^2[/mm].
Damit ist die zu beweisenden Behauptung bewiesen... oder etwas feiner ausgedrückt...
QUOD ERAT DEMONSTRANDUM
(...ach ja: Damit hat man natürlich, wenn man so will, bewiesen, dass die Summe von ungeraden Zahlen immer eine Quadratzahl ist!)
Ich hoffe, du konntest dies alles verständlich nachvollziehen!!!
Wenn nicht, bitte nachfragen, es ist ja irgendwie auch eine auf die "wesentlichen Dinge" reduzierte Fassung der Antwort  .
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
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