Regressionen < Mathe-Software < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
ich beschäftige mich mit folgendem Problem:
eine typische (Schul-) Mathe- oder Physikaufgabe lautet oft:
gegeben sind die folgenden Daten
[mm] \begin{tabular}{|l*{4}{p{3cm}|}}
\hline
x&2,7&3,0&3,4&3,8\\
\hline
y&140&180&230&290\\
\hline
\end{tabular}
[/mm]
Zeigen sie, dass [mm] $x\sim\sqrt{y}$ [/mm] gilt.
Gibt man nun die Daten $x$ und [mm] $\sqrt{y}$ [/mm] in Listen in z.B. einen TR ein und wählt LinReg (Beispiel Ti-84) aus, so erhält man die Funktion [mm] $r(\sqrt{y})\approx0{,}21\sqrt{y}+0{,}16$ [/mm] mit [mm] $R_{kor}^2=0{,}9988\ldots$
[/mm]
Was macht man nun mit dem $y$-Achsenabschnitt? Viele Schüler ignorieren diesen einfach und schreiben schlichtweg: "Ja, es gilt [mm] $r(\sqrt{y})=0{,}21\sqrt{y}$". [/mm]
Wäre super, wenn mir jemand einen Überblick darüber geben könnte, wie groß der Fehler ist, den man bei obiger Schülerlösung macht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Do 08.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
> ich beschäftige mich mit folgendem Problem:
> eine typische (Schul-) Mathe- oder Physikaufgabe lautet
> oft:
> gegeben sind die folgenden Daten
> [mm]\begin{tabular}{|l*{4}{p{3cm}|}}
\hline
x&2,7&3,0&3,4&3,8\\
\hline
y&140&180&230&290\\
\hline
\end{tabular}[/mm]
>
> Zeigen sie, dass [mm]x\sim\sqrt{y}[/mm] gilt.
> Gibt man nun die Daten [mm]x[/mm] und [mm]\sqrt{y}[/mm] in Listen in z.B.
> einen TR ein und wählt LinReg (Beispiel Ti-84) aus, so
> erhält man die Funktion
> [mm]r(\sqrt{y})\approx0{,}21\sqrt{y}+0{,}16[/mm] mit
> [mm]R_{kor}^2=0{,}9988\ldots[/mm]
> Was macht man nun mit dem [mm]y[/mm]-Achsenabschnitt? Viele
> Schüler ignorieren diesen einfach und schreiben
> schlichtweg: "Ja, es gilt [mm]r(\sqrt{y})=0{,}21\sqrt{y}[/mm]".
> Wäre super, wenn mir jemand einen Überblick darüber
> geben könnte, wie groß der Fehler ist, den man bei obiger
> Schülerlösung macht.
Hallo,
ich halte das geschilderte Vorgehen für sehr ungeschickt. Da es bei Messwerten nahezu zwangsläufig zu Abweichungen kommt, wird der Koordinatenursprung meist (wenn auch nur knapp) verfehlt. Man müsste den Schüler vorher Kriterien angeben, welche absoluten Abweichungen des Schnitts mit der y-Achse vom Nullpunkt noch tolerierbar sind. Günstiger ist es, die Quotienten [mm]\frac{\sqrt{y}}{x}[/mm] zu berechnen. Wenn diese relativ gleich sind, kann man von der Gültigkeit der zu beweisenden Aussage ausgehen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Hallo Abakus,
vielen Dank für die rasche Antwort.
Ich sehe zwar leider nicht, worin der numerische Vorteil von [mm] $\frac{\sqrt{y}}{x}$ [/mm] gegenüber der Regressionen besteht, aber für Schüler ist die von Dir beschriebene Methode (wie sie vor allen Dingen in den Büchern stand, bevor die Taschenrechner Teil des Lehrplans geworden sind) sicher easier zu handeln, danke dafür.
Trotzdem würde ich mich freuen, wenn mir hier jemand eine Empfehlung zum Umgang mit dem störenden $y$-Achsenabschnitt geben könnte, denn dieses Problem taucht wirklich häufig auf.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:55 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Trotzdem würde ich mich freuen, wenn mir hier jemand eine
> Empfehlung zum Umgang mit dem störenden [mm]y[/mm]-Achsenabschnitt
> geben könnte, denn dieses Problem taucht wirklich häufig
> auf.
Aber das hat abakus doch getan: da muss ein Kriterium her, ab wann die lineare Funktion nicht mehr als Proportionaliät angesen werden soll.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Naja, die sache mit der Regression ist schön einfach:
In den TR eintippe, und schwupps, kommt ne Grade raus.
Was Abakus vorschlägt, ist folgendes:
Du willst beweisen, daß [mm] x=C*\sqrt{y} [/mm] gilt. Wenn das auf JEDEN Messwert zutrifft, solltest du JEDES xy-Paar einsetzen können, und würdest immer den gleichen Wert für C bekommen.
Tatsächlich wirst du das nie, weil du immer Messfehler drin hast. Gibt es einen Offset, solltest du sehen, daß sich der Wert von C mit dem Abstand vom Ursprung langsam ändert. Je stärker diese Änderung ist, desto schlimmer ist der Offset.
Aber ich glaube, das ist auch kaum geeignet. erstens steckt da viel Rechnerei drin, zweitens sehe ich nicht, wie man da irgendwie ein Kriterium einführen könnte.
Ich hab da ggf ne Idee, müßte aber nochmal drüber brüten, und muß nu auch weg. ich meld mich nochmal.
|
|
|
| |
|
Hi!
Jetzt aber:
Eine Regressionsgrade geht immer durch den Schwerpunkt (Mittelwerte der x- und y-Werte). Wenn man doch eine Ursprungsgrade erwartet, könnte man die Steigung von Regressions- und Ursprungsgrade vergleichen.
Zum Beispiel direkt das Verhältnis [mm] \frac{m_{reg}}{m_0}=m_{reg}\frac{\bar{X}}{\bar{Y}} [/mm] je näher das an 1 liegt, desto geringer ist der y-Achsenabschnitt zu bewerten.
Vorteile:
- Die Werte lassen sich mit wenigen Tastendrücken aus dem Taschenrechner holen
- Einheiten und Faktoren heben sich 'raus - wenn ein Schüler Ströme in mA und ein anderer in A eingibt, kommt der gleiche Wert raus
- liegt der Schwerpunkt weit weg vom Ursprung, werden die Steigungen ähnlicher, das Verhältnis besser. Macht Sinn, denn dann ist ein Achsenabschnitt geringer zu bewerten.
- im Prinzip ist das ganz ähnlich zum Regressionskoeffizienten. Der ist das Verhältnis der Steigungen der normalen Regressionsgraden und der mit vertauschten x- und y-Werten.
Es gibt aber auch Nachteile:
Das Verhältnis ist abhängig vom Wert der Steigung, also grob dem Winkel, unter dem die Daten zur x-Achse liegen. Das führt dann auch schnell zu nem Problem, wenn [mm] m_0=0 [/mm] ist. (Sollte das nicht auch bei dem Regressionskoeffizienten zu Problemen führen?)
Ggf. könnte man noch den Winkel zwischen beiden Graden berechnen.
Naja... Es gibt da noch ein ganz anderes Problem, wenn man die Daten erstmal linearisiert (Also wie hier im ersten Beitrag, erstmal Wurzel ziehen). Ein Offset wird da die linearen Daten verzerren. Ich meine:
Idealfall:
[mm] z=C*x^2 [/mm] | [mm] \sqrt
[/mm]
[mm] y=\sqrt{z}=\sqrt{C}*x [/mm] -> Trägt man y gegen x auf, ist die Steigung [mm] \sqrt{C}
[/mm]
mit Offset:
[mm] z=C*x^2+D [/mm] | [mm] \sqrt
[/mm]
[mm] y=\sqrt{z}=\sqrt{C*x^2+D} [/mm] -> je nach Größe von C, D und x ist das weit entfernt von ner lin. Funktion.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Event_Horizon,
ich habe mal deine obige Mitteilung zu einer Antwort gemacht und im Thread leicht verschoben. Ich hoffe, das ist ok so?
Gruß, Diophant
|
|
|
|
