Regeln von de l´Hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Di 31.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Finde den Grenzwert für:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{(\ln x)^{\beta}}{x^{\alpha}} [/mm] mit [mm] \alpha,\beta>0 [/mm] |
Hallo,
mit den Regeln von de l´Hospital habe ich nach mehrmaligen Ableitungen einen Ausdruck bekommen: [mm] 0/\infty [/mm] für x gegen unendlich. Dieser Ausdruck jedoch nicht definiert. Weiter, es lässt sich keine Ableitung bilden, die dann einen definierten Ausdruck zulässt.
Kann mir da jemand helfen?
Schöne Grüße
Igor
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Hallo Igor!
Warum ist der Ausdruck [mm] $\bruch{0}{\infty}$ [/mm] nicht definiert?
Da erhalte ich als Grenzwert $0_$ ; schließlich ergeben 0 geteilt durch unendlich viele Leute auch 0 für jeden  .
Wie sieht denn Dein Ausdruck nach mehrfacher de l'Hospital'scher Anwendung aus?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Di 31.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Roadrunner,
danke Dir für die Korrektur!
ich habe einen langen Ausdruck bekommen. Bei der Ableitung hatte ich im Zähler [mm] b(b-1)(b-2).....(b-k)(lnx)^{b-(k+1)} [/mm] wobei der Ausdruck gegen 0 ging und im Nenner ging [mm] a^{k+1} x^{a} [/mm] gegen unendlich.
Schöne Grüße
Igor
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Einmaliges Anwenden liefert den Ausdruck
[mm] \bruch{\beta*(ln(x))^{\beta-1}*\bruch{1}{x}}{\alpha*x^{\alpha-1}} [/mm] = [mm] \bruch{\beta*(ln(x))^{\beta-1}}{\alpha*x^{\alpha}}
[/mm]
Durch mehrmaliges Anwenden werden so die Potenzen von ln(x) so lange "heruntergekocht" bis sie im Falle natürlicher Zahlen auf Null bzw. sonst negativ werden, während die Potenz im Nenner stets unverändert bleibt. Das führt letztlich auf den Typ [mm] \bruch{Konstante}{x^{\alpha}} [/mm] bzw. [mm] \bruch{Konstante}{x^{\alpha}*ln(x)^{Etwas}} [/mm] und damit zum Grenzwert 0.
MERKE: Der natürliche Logarithmus ist ein "Schlappschwanz" und hat keine Chance, sich gegen Potenzen von x durchzusetzen.
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