Regelfunktionen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:[-1,1]\to\IR [/mm] sei für [mm] x\in[-1,1] [/mm] definiert durch
[mm] f(x):=\begin{cases} \frac{1}{n+2}, & \mbox{für } x\in[-\frac{1}{n},-\frac{1}{n+1}) \cup (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}], n\in\IN \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f eine Regelfunktion ist, indem Sie eine gegen f konvergierende Folge von Treppenfunktionen angeben. |
Hallo zusammen,
Ich habe die Funktion f doch so definiert, dass sie für x=0 Null ist und sonst links und rechts von Null zwei Folgen habe, die gegen 0 konvergieren ? [mm] (-\frac{1}{n},-\frac{1}{n+1} [/mm] von links und [mm] \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} [/mm] von rechts).
Jetzt soll ich irgendwie eine Folge von Treppenfunktionen angeben, die gegen diese Funktion konvergiert, das bedeutet doch, es muss für meine Folge von Treppenfunktionen [mm] (\varphi_n)_{n\in\IN} [/mm] gelten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vert f-\varphi_n\vert=0,
[/mm]
aber mich verwirtt die Definiion der Funktion ein wenig, denn diese ist doch schon über Folgen definiert? Wie kann ich jetzt eine Folge von Treppenfunktionen angeben, die gegen f konvergieren?
Wäre dankbar für Hilfe!
Grüße
|
|
| |
|
Hi,
die Funktion ist nicht über Folgen definiert, sondern jeweils in den Intervallen [mm] [-\frac{1}{n},-\frac{1}{n+1} [/mm] ) [mm] \cup (\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}] [/mm] konstant mit einem von n abhängigen Wert, hat also unendlich viele Stufen.
Du musst eine Folge finden, die nur endlich Stufen hat und in der Supremumsnorm konvergiert. Am besten durch geschickte Abschneiden.
|
|
|
| |
|
Danke für die Antwort!
Kann ich als Treppenfunktion nicht einfach „dieselbe Funktion“ nehmen, nur dass ich n eben nicht beliebig wähle, sondern beschränke durch [mm] n\in[1,...,k] [/mm] ?
Aber wie kann ich dann konkret zeigen, dass diese Funktionenfolge (der Treppenfunktionen) in der Supremumsnorm gegen f konvergiert?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 21.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
