Regelfkt und Dirichlet < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Sa 22.04.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Geben Sie eine Folge von Regelfunktionen [mm] $f_n [/mm] :[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] an, welche punktweise gegen die Dirichletfunktion
[mm] $f:[0,1]\to \IR$ [/mm] ; [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \not\in \IQ \mbox{ } \\ 1, & \mbox{falls } x\in \IQ \mbox{ } \end{cases} [/mm]
konvergiert.
Hinweis: Wählen Sie eine Abzählung [mm] (r_n )_{n\in \IN} [/mm] von [mm] \IQ [/mm] und konstruieren Sie dadurch die Funktionen [mm] f_n. [/mm] |
Hallo,
mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich nicht genau weiß was mit der Abzählung von [mm] \IQ [/mm] gemeint ist.
Ich habe mir gedacht, dass eine Abzählung wohl eine Bijektion zwischen [mm] \IN [/mm] und [mm] \IQ [/mm] ist.
Also: r: [mm] \IN \to \IQ.
[/mm]
Und jetzt muss ich eine Folge [mm] (t)_n [/mm] von Treppenfunktionen finden, mit der Eigenschaft, dass [mm] f_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow \infty} t_n.
[/mm]
Aber ab jetzt wüsste ich nicht weiter.
Wie soll ich diese Infos kombinieren ???
Wäre über Tipps dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Sa 22.04.2006 | | Autor: | andreas |
hi
überlege dir mal, was mn mit der funktionenfolge
[m] f_n(x) = \begin{cases} 1 & \textrm{ falls } x \in \{q_1, ..., q_n \} \\ 0 & \textrm{ sonst} \end{cases} [/m]
anfangen könnte.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Sa 22.04.2006 | | Autor: | DeusRa |
Danke schon mal.
Also: [mm] r_n:={q_1, ..., q_n\}.
[/mm]
[mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 & \textrm{ falls } x \in r_n \\ 0 & \textrm{ sonst} \end{cases} [/mm] $
[mm] \Rightarrow f_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} \limes_{n\rightarrow\infty} r_n, & \mbox{für } x\in r_n \mbox{ } \\ \limes_{n\rightarrow\infty} x, & \mbox{für } sonst. \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Wäre das als Ansatz ok ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Sa 22.04.2006 | | Autor: | andreas |
hi
habe mich vorhin etwas mit den bezeichnungen verrant, also der deutlichkeit halber: [mm] $(q_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] soll eine abzählungen der rationalen zahlen in $[0, 1]$ sein (die hieß in der aufgabenstellung [mm] $(r_n)_{n \in \mathbb{N}}$) [/mm] aber das ist dir ja wohl aufgefallen.
> Also: [mm]r_n:={q_1, ..., q_n\}.[/mm]
> [mm]f_n(x)[/mm] = [mm]\begin{cases} 1 & \textrm{ falls } x \in r_n \\ 0 & \textrm{ sonst} \end{cases}[/mm]
> $
> [mm]\Rightarrow f_n(x)[/mm] = [mm]\begin{cases} \limes_{n\rightarrow\infty} r_n, & \mbox{für } x\in r_n \mbox{ } \\ \limes_{n\rightarrow\infty} x, & \mbox{für } sonst. \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Wäre das als Ansatz ok ?
also mir ist etwas unklar, was du mit der zweiten darstellng von [mm] $f_n$ [/mm] willst. der wert in der oberen alternative hängt nicht mehr von $n$ ab, aber der bereich, auf dem er angenommen wird schon? und was ist [mm] $\lim_{n \to \infty} [/mm] x$? das $x$ hängt doch nicht von $n$ ab?
also nimm lieber die obere darstellung der [mm] $f_n$ [/mm] und zeige, dass diese punktweise gegen $f$ konvergiert. nimm also ein festes $x$ her (fallunterscheidung ob dieses rational oder irrational) und zeige, dass es für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein $N [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] gibt, so dass sich für alle $n [mm] \geq [/mm] N$ die werte [mm] $f_n(x)$ [/mm] und $f(x)$ um weniger als [mm] $\varepsilon$ [/mm] unterscheiden.
probiere das mal und melde dich dann wieder.
grüße
andreas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:11 So 23.04.2006 | | Autor: | DeusRa |
Ok, also ich habe es jetzt folgendermaßen gemacht.
Habe natürlich dieses [mm] f_n [/mm] gewählt.
$ [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 & \textrm{ falls } x \in \{q_1, ..., q_n \} \\ 0 & \textrm{ sonst} \end{cases} [/mm] $
Also,
zz: [mm] $\forall x\in \IQ [/mm] ($ oder $x [mm] \not\in \IQ) \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \in \IN, [/mm] s.d. [mm] \forall n\ge n_0: |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
[/mm]
Somit:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben
1. Fall: Sei [mm] x\in \IQ \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|=|1-1|=0< \varepsilon.
[/mm]
2. Fall: Sei [mm] x\not\in \IQ \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|=|0-0|=0 [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Drei Fragen:
(i) Richtig so ???
(ii) Muss ich noch zeigen, dass es nicht gleichmäßig konvergiert ???.
(iii) Muss ich denn nicht noch zeigen, dass [mm] f_n [/mm] eine Regelfunktion ist ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Mi 26.04.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> Ok, also ich habe es jetzt folgendermaßen gemacht.
> Habe natürlich dieses [mm]f_n[/mm] gewählt.
> [mm]f_n(x) = \begin{cases} 1 & \textrm{ falls } x \in \{q_1, ..., q_n \} \\ 0 & \textrm{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Also,
> zz: [mm]\forall x\in \IQ ([/mm] oder [mm]x \not\in \IQ) \forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \IN, s.d. \forall n\ge n_0: |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon[/mm]
>
> Somit:
> Sei [mm]\varepsilon > 0[/mm] gegeben
> 1. Fall: Sei [mm]x\in \IQ \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|=|1-1|=0< \varepsilon.[/mm]
>
> 2. Fall: Sei [mm]x\not\in \IQ \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|=|0-0|=0[/mm]
> < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Drei Fragen:
> (i) Richtig so ???
beim ersten fall gilt die ungleichung doch nicht für alle $n$? im zweiten fall schon.
> (ii) Muss ich noch zeigen, dass es nicht gleichmäßig
> konvergiert ???.
wenn nur gefordert wurde, dass du eine folge regelfunktionen die punktweise gegen $f$ angeben sollst, dann nicht.
> (iii) Muss ich denn nicht noch zeigen, dass [mm]f_n[/mm] eine
> Regelfunktion ist ???
ja.
grüße
andreas
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