Regel von l'Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Do 26.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
Hallo, ich habe etwas Schwierigkeiten, den Grenzwert nach unendlich für folgende Funktion zu berechnen:
f(x) = lim x->unendlich [mm] (x-1)e^{-1/2x^2+x}
[/mm]
Da x nach unendlich strebt, würde der Ausdruck ja unendlich * unendlich, also unbestimmt sein.
Dazu nutzt man die Regel von l'hospital, um durch Ableitungen einen Grenzwert zu bestimmen.
Doch diese Funktion muss man ja anfangs umformen, damit sie als Bruch steht, habe ich gehört.
Kann ich es so schreiben?
[mm] ln(-1/2x^2+x)(x-1) [/mm]
= [mm] \bruch{1}{-1/2x^2+x} [/mm] (x-1)
= [mm] \bruch{x-1}{-1/2x^2+x} [/mm] <- Das dann ableiten (Zähler & Nenner separat - nach l'Hospital)
= [mm] \bruch{1}{-x+1} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{- unendlich} [/mm]
= 0
Das Ergebnis stimmt laut Lösung. Doch ist der Rechenweg so richtig?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Do 26.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo dudu!
Wie kommst Du aus heiterem Himmel auf Deinen Term mit dem Logarithmus? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Du kannst hier den (ursprünglichen) Term wie folgt umformen, um einen Bruch zu erhalten:
[mm](x-1)*e^{-\bruch{1}{2}x^2+x} \ = \ (x-1)*e^{-\left(\bruch{1}{2}x^2-x\right)} \ = \ (x-1)*\left[e^{\bruch{1}{2}x^2-x}\right]^{-1} \ = \ (x-1)*\bruch{1}{e^{\bruch{1}{2}x^2-x}} \ = \ \bruch{x-1}{e^{\bruch{1}{2}x^2-x}}[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Do 26.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke für die schnelle Antwort.
Stimmt ja, das Minus kann man dann als Exponenten schreiben.
Also steht am Ende das hier:
[mm] \bruch{1}{e^{1/2x^2-x}*x-1} [/mm]
Und der Nenner geht gegen unendlich. Also ist der GW = 0. Richtig so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Do 26.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dudu!
Wenn Du dem Nenner noch ein Paar Klammern spendierst, stimmt es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Fr 27.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie begrondest du dass
[mm] e^{1/2x^2-x}=\bruch{e^{1/2x^2}}{e^x} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] strebt? Zähler gegen [mm] \infty, [/mm] Nenner auch?
Das Ergebnis ist allerdings richtig, aber da steht sicher nicht ohne Grund [mm] e^{1/2x^2-x} [/mm] und nicht nur [mm] e^{1/2x^2}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
|
