Regel von l'Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Icyangel |
Hallo!
Ich muss fürs Mathe Abi mündlich am Montag vielleicht die Regel von l'Hospital anwenden. Hab mir das bei Wikipedia mal angeschaut, aber verstehe es leider nicht so recht.
Also nach Wikipedia muss man die Regel anwenden, wenn man den Ausdruck unendlich geteilt durch unendlich oder null durch null erhält. dann bilde ich die Ableitung von beiden (?) Funktionen , bis ich eine Konstante durch ein x da stehen habe.
Hab ich das so richtig verstanden? Aber was sagt mir die Formel dann? Und wann kann das passieren, dass ich den Ausdruck unendlich durch unendlich da stehen habe?
Wäre lieb, wenn mir das jmd erklären könnte!
Vielen Dank schonmal!
Lg
verena
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Hallo Icyangel,
> Hallo!
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> Ich muss fürs Mathe Abi mündlich am Montag vielleicht die
> Regel von l'Hospital anwenden. Hab mir das bei Wikipedia
> mal angeschaut, aber verstehe es leider nicht so recht.
> Also nach Wikipedia muss man die Regel anwenden, wenn man
> den Ausdruck unendlich geteilt durch unendlich oder null
> durch null erhält.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann bilde ich die Ableitung von beiden
> (?) Funktionen
Du hast dann ja so etwas wie folgenden Quotienten da stehen:
[mm]\lim_{x\to\texttt{''irgendwas''}}{\frac{a(x)}{b(x)}},[/mm]
wobei [mm]a(x)[/mm] und [mm]b(x)[/mm] beide entweder gegen 0 oder gegen [mm]\infty[/mm] streben. Und dann besagt die Regel, daß du [mm]a(x)[/mm] und [mm]b(x)[/mm] separat ableitest, und dann den Quotienten bildest:
[mm]\lim_{x\to\texttt{''irgendwas''}}{\frac{a(x)}{b(x)}} = \lim_{x\to\texttt{''irgendwas''}}{\frac{a'(x)}{b'(x)}}.[/mm]
> bis ich eine Konstante durch ein x da
> stehen habe.
Das ist nicht unbedingt notwendig. Es kann auch sein, daß die l'Hospital'sche Regel nur ein kleiner Baustein in einem längeren Lösungsweg zu einer geschlossenen Grenzwertdarstellung ist. Siehe dir z.B. folgende Diskussion an. Dort wende ich ja auch nicht nur sturr l'Hospital an (nach dem Motto "alles wird gut!"  ), sondern benutze z.B. auch [mm]\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1[/mm], was ja so eigentlich nichts mit l'Hospital zu tun hat...
> Hab ich das so richtig verstanden? Aber was sagt mir die
> Formel dann?
Das kommt darauf an, wo du diese Formel einsetzen willst. Diese Formel befähigt dich jedenfalls Grenzwerte von ziemlich komplizierten Ausdrücken mit Leichtigkeit zu berechnen, weil du durch Anwendung dieser Formel "etwas mehr" als nur "pure Arithmetik" (und problemspezifische Identitäten wie [mm]\sin^2 + \cos^2 = 1[/mm]) zur Verfügung hast, um solche Grenzwert-Probleme zu knacken. Deine mathematischen Möglichkeiten steigen jedenfalls durch diese Formel.  Oder ...
> Und wann kann das passieren, dass ich den
> Ausdruck unendlich durch unendlich da stehen habe?
... wüßtest du einen einfacheren Weg, um
[mm]\lim_{x\to 0}{\frac{\cos^2x - 1}{x^2}}[/mm]
zu berechnen?
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Icyangel |
Hallo Karl!:)
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Ich schaue mir dein Beispiel gleich mal an (kann nicht rechnen, wenn der PC an ist, lenkt mich zu sehr ab!) und meld mich dann nochmal
Hab grad noch eine kleine Frage: Woher weiss ich, ob etw gegen 0 oder gegen unendlich strebt? Und gibts da noch was besonderes zu beachten, also ist das ein großer Unterschied, gegen was es geht?
LG
Verena
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Hallo!
> Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Ich schaue mir
> dein Beispiel gleich mal an (kann nicht rechnen, wenn der
> PC an ist, lenkt mich zu sehr ab!) und meld mich dann
> nochmal
Mach doch einfach den Monitor aus.
> Hab grad noch eine kleine Frage: Woher weiss ich, ob etw
> gegen 0 oder gegen unendlich strebt? Und gibts da noch was
> besonderes zu beachten, also ist das ein großer
> Unterschied, gegen was es geht?
Mmh - hast du mal "ganz normale" Grenzwerte berechnet? Da macht man doch genau das: gucken, ob die Funktion gegen 0 oder gegen unendlich oder gegen irgendwas ganz anderes geht. Nehmen wir die Funktion [mm] f(x)=x^2. [/mm] Wenn du nun [mm] \lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] berechnest, weißt du, "gegen was die Funktion geht". Dafür stellst du dir vor, du setzt immer größere Zahlen in die Funktion ein (das bedeutet ja genau [mm] x\to\infty) [/mm] und guckst, was mit der Funktion passiert. Wenn x immer größer wird, wird auch [mm] x^2 [/mm] immer größer, also geht die Funktion gegen [mm] \infty.
[/mm]
Wenn du dir stattdessen die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] anschaust und das Gleiche machst, also für x immer größere Werte einsetzt, geht die Funktion, also [mm] \bruch{1}{x}, [/mm] gegen 0. Denn für größere x wird der Bruch eben immer kleiner.
Das ist ein Riesenunterschied, ob die Funktion gegen 0 oder gegen [mm] \infty [/mm] oder gegen sonstwas geht. Schau dir doch mal dir Graphen dieser Funktionen an.
Aber so etwas müsst ihr doch in der Schule gemacht haben, ansonsten ist es eigentlich nicht möglich, L'hospital anzuwenden.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Fr 09.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Icy
vielleicht sollt man die Begründung zur Regel von LHopital doch wissen. Wenn man den Qutient von 2 Funktionen an einer Stelle ansieht, dann verhalten sich die funktionen dort wie ihre Tangenten, denn diese nähern ja die funktionen umso besser an, je näher man der Stelle ist. Deshalb ist das Verhältnis der Tangenten im grenzfall dasselbe wie das Verhältnis der Funktionswerte. Beispiel [mm] :\bruch{sinx}{x} [/mm] sinx hat an der Stelle x=0 die Tangente y=x, das heissst für x nah 0 ist sinx beinahe x und sinx/x beinahe wie x/x=1/1. beim Grenzwert gilt dann die Gleichheit.
Gruss leduart
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