Reelles Integral lösen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 So 29.06.2014 | | Autor: | hilbert |
Ich soll folgendes Integral lösen:
[mm] \int_0^{2\pi}\frac{1}{1-2tcos(x)+t^2}dx
[/mm]
für |t|<1.
Geht das mit residuumsatz?
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Hallo hilbert,
Wolfram behauptet für das unbestimmte Integral:
[mm] \int{\bruch{1}{1-2t\cos{(x)}+t^2}\;\mathrm{dx}}=\bruch{2}{t^2-1}\;\arctan{\left(\bruch{t+1}{t-1}\tan{\left(\bruch{x}{2}\right)}\right)}
[/mm]
Das habe ich nicht nachgerechnet; ich wüsste gerade auch nicht, wie man dahin kommt. Es scheint aber auch falsch zu sein: der Wert des bestimmten Integrals wäre dann Null, was nicht sein kann, da die Integrandenfunktion komplett im Positiven verläuft.
Ich lasse die Frage daher weiter offen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 So 29.06.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
wenn ich mal drauf geachtet hätte, dass da mittendrin eine Polstelle liegt, hätte ich so manches eben wohl nicht behauptet...
Leopolds Lösung macht da mehr Sinn.
lg, rev
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Ja, das geht mit dem Residuensatz. Substituiere
[mm]\cos(x) = \frac{1}{2} \left( z + \frac{1}{z} \right) \ \ \text{mit} \ \ z = \operatorname{e}^{\operatorname{i}x}[/mm]
und integriere
[mm]f(z) = \frac{1}{\operatorname{i}z} \cdot \frac{1}{1 - 2t \cdot \frac{1}{2} \left( z + \frac{1}{z} \right) + t^2}[/mm]
über den positiv orientierten Einheitskreis. Die Singularitäten befinden sich für [mm]t \neq 0[/mm] bei [mm]z=t[/mm] und [mm]z=\frac{1}{t}[/mm], wovon wegen [mm]|t|<1[/mm] nur die erste im Innern des Einheitskreises liegt. Ist daher [mm]a[/mm] das Residuum von [mm]f(z)[/mm] bei [mm]z=t[/mm], so folgt:
[mm]\int_0^{2 \pi} \frac{\mathrm{d}x}{1 - 2t \cos x + t^2} = 2 \pi \operatorname{i} a[/mm]
Den Fall [mm]t=0[/mm] solltest du vorweg behandeln. Dafür ist das Integral ja direkt berechenbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 So 29.06.2014 | | Autor: | hilbert |
Okay, vielen dank für die lösung! Das verstehe ich auch alles unf komme nun auf ein ergebnis.
Könntest du mir aber evtl. noch sagen wie du auf diese Substitution kommst? Die hätte ich so nie gefunden..
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Standardmethode