Reeller Parameter Summenvektor < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 So 10.11.2013 | | Autor: | Die_Ali |
| Aufgabe | Die Vektoren [mm] \vec a [/mm] und [mm] \vec b [/mm] schließen einen Winkel von [mm] \bruch{2Pi}{3} [/mm] ein und haben die Beträge |[mm] \vec a [/mm]|= 2 und |[mm] \vec b [/mm]|= 2.
Bestimmen Sie den reellen Parameter x so, dass der Summenvektor der Vektoren [mm] \vec c = \vec a + 2x \vec b [/mm]und [mm] \vec d = \vec a - 3x \vec b [/mm] die Länge 8 hat.
Welchen Winkel schließen die Vektoren [mm] \vec c [/mm] und [mm] \vec d [/mm] ein?
Bestimmen Sie einen Vektor [mm] \vec e [/mm] der Läge 1, der senkrecht auf [mm] \vec c [/mm] und [mm] \vec d [/mm] steht. Wie groß ist der Rauminhalt des Spats, der von den Vektoren [mm] \vec c [/mm], [mm] \vec d [/mm] und [mm] \vec e [/mm] aufgespannt wird? |
Mein Lösungsansatz:
Als erstes habe ich zwei Vektoren (je der Länge 2) durch die bekannte Länge und durch den bekannten Winkel erzeugt:
[mm] \vec a = \begin{pmatrix}
2
\\ 0
\\ 0
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] \vec a = \begin{pmatrix}
\cos \bruch {2Pi}{3}
\\ \sin \bruch {2Pi}{3}
\\0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\bruch {1}{2} \wurzel {2}
\\ -\bruch {1}{2} \wurzel {2}
\\0
\end{pmatrix}
[/mm]
Im Zweiten Schritt berechnete ich die Vektoren [mm]\vec c[/mm] und [mm]\vec d[/mm] anhanden der Vektoraddition /- subtration:
[mm]
\vec c = \vec a + 2x\vec b =
\begin{pmatrix}
2+x\wurzel {2}
\\ -x\wurzel {2}
\\ 0
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm]
\vec c = \vec a - 3x\vec b =
\begin{pmatrix}
2-x\bruch {3}{2}\wurzel {2}
\\ -x\bruch {3}{2}\wurzel {2}
\\ 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Da der reelle Parameter für den Summenvektor gesucht ist, errechnete ich auch diesen:
[mm]
\vec s = \vec c - \vec d =
\begin{pmatrix}
2+x\wurzel{2}+2-x\bruch {3}{2}\wurzel 2
\\ -x\wurzel{2}-x\bruch {3}{2}\wurzel 2
\\ 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4-\bruch {1}{2}x\wurzel 2
\\ -\bruch {5}{2}x\wurzel 2
\\ 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun dachte ich mir, um auf den gesuchten reellen Parameter x zu kommen, könnte ich einfach 8=s setzen und somit x berechnen.
Und genau hier taucht mein erstes Problem auf. Ich scheine zu blöd zum rechnen zu sein:
[mm]
8
=\wurzel{(4-\bruch{1}{2}x\wurzel{2})^2+(-\bruch{5}{2}x\wurzel{2})^2}=\wurzel{16-\bruch{1}{4}2x^2-\bruch {25}{4}2x^2}
=\wurzel{16-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{17}{4}x^2}
=\wurzel{16+\bruch{15}{4}x^2}
=
[/mm]
Hier habe ich dann aufgegeben.
Ich denke, dass meine Überlegung ein Anfang war, nur komme ich mit der "Rechnerei" nicht ganz klar (was mir ehrlich gesagt auch ziemlich peinlich ist...).
Weitere Überlegungen zum Lösen der restlichen Aufgabe:
Wenn ich den reellen Parameter x ermittelt habe würde ich einen Normalenvektor erstellen, welchen ich auf die Länge 1 bringen würde, somit hätte ich den Vektor [mm]\vec e[/mm] und würde den Rauminhalt des Spats über das Lösen der Determinante der Vektoren [c,d,e] ermitteln.
Es wäre wirklich sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte, denn ich kann mir Nachhilfe momentan leider nicht leisten.
Vielen Lieben Dank im Voraus. Die Ali
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 So 10.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Die Vektoren [mm]\vec a[/mm] und [mm]\vec b[/mm] schließen einen Winkel von
> [mm]\bruch{2Pi}{3}[/mm] ein und haben die Beträge |[mm] \vec a [/mm]|= 2 und
> |[mm] \vec b [/mm]|= 2.
> Bestimmen Sie den reellen Parameter x so, dass der
> Summenvektor der Vektoren [mm]\vec c = \vec a + 2x \vec b [/mm]und
> [mm]\vec d = \vec a - 3x \vec b[/mm] die Länge 8 hat.
> Welchen Winkel schließen die Vektoren [mm]\vec c[/mm] und [mm]\vec d[/mm]
> ein?
> Bestimmen Sie einen Vektor [mm]\vec e[/mm] der Läge 1, der
> senkrecht auf [mm]\vec c[/mm] und [mm]\vec d[/mm] steht. Wie groß ist der
> Rauminhalt des Spats, der von den Vektoren [mm]\vec c [/mm], [mm]\vec d[/mm]
> und [mm]\vec e[/mm] aufgespannt wird?
> Mein Lösungsansatz:
>
> Als erstes habe ich zwei Vektoren (je der Länge 2) durch
> die bekannte Länge und durch den bekannten Winkel
> erzeugt:
> [mm]\vec a = \begin{pmatrix}
2
\\ 0
\\ 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec a = \begin{pmatrix}
\cos \bruch {2Pi}{3}
\\ \sin \bruch {2Pi}{3}
\\0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\bruch {1}{2} \wurzel {2}
\\ -\bruch {1}{2} \wurzel {2}
\\0
\end{pmatrix}
[/mm]
Hallo,
die Aufgabe ist allgemein zu lösen und nicht mit persönlich gut passenden Vektoren.
Aus [mm]\vec c = \vec a +2x \vec b [/mm] und [mm] $\vec [/mm] d = [mm] \vec [/mm] a - 3x$ folgt [mm]\vec c +\vec d= 2\vec a -x \vec b [/mm].
Der Vektor [mm] $2\vec{a}$ [/mm] hat den Betrag 4, der Vektor [mm] $x*\vec{b}$ hat [/mm] den Betrag 2*|x|, und der Winkel zwischen beiden ist 120° (oder 60°, je nachdem, welches Vorzeichen x hat).
Der Betrag von [mm] 2\vec a -x \vec b [/mm] ist eine Sache für den Kosinussatz.
Gruß Abakus
>
> Im Zweiten Schritt berechnete ich die Vektoren [mm]\vec c[/mm] und
> [mm]\vec d[/mm] anhanden der Vektoraddition /- subtration:
>
> [mm]
\vec c = \vec a + 2x\vec b =
\begin{pmatrix}
2+x\wurzel {2}
\\ -x\wurzel {2}
\\ 0
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> [mm]
\vec c = \vec a - 3x\vec b =
\begin{pmatrix}
2-x\bruch {3}{2}\wurzel {2}
\\ -x\bruch {3}{2}\wurzel {2}
\\ 0
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Da der reelle Parameter für den Summenvektor gesucht ist,
> errechnete ich auch diesen:
>
> [mm]
\vec s = \vec c - \vec d =
\begin{pmatrix}
2+x\wurzel{2}+2-x\bruch {3}{2}\wurzel 2
\\ -x\wurzel{2}-x\bruch {3}{2}\wurzel 2
\\ 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4-\bruch {1}{2}x\wurzel 2
\\ -\bruch {5}{2}x\wurzel 2
\\ 0
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Nun dachte ich mir, um auf den gesuchten reellen Parameter
> x zu kommen, könnte ich einfach 8=s setzen und somit x
> berechnen.
> Und genau hier taucht mein erstes Problem auf. Ich scheine
> zu blöd zum rechnen zu sein:
>
> [mm]
8
=\wurzel{(4-\bruch{1}{2}x\wurzel{2})^2+(-\bruch{5}{2}x\wurzel{2})^2}=\wurzel{16-\bruch{1}{4}2x^2-\bruch {25}{4}2x^2}
=\wurzel{16-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{17}{4}x^2}
=\wurzel{16+\bruch{15}{4}x^2}
=
[/mm]
>
> Hier habe ich dann aufgegeben.
>
> Ich denke, dass meine Überlegung ein Anfang war, nur komme
> ich mit der "Rechnerei" nicht ganz klar (was mir ehrlich
> gesagt auch ziemlich peinlich ist...).
>
> Weitere Überlegungen zum Lösen der restlichen Aufgabe:
>
> Wenn ich den reellen Parameter x ermittelt habe würde ich
> einen Normalenvektor erstellen, welchen ich auf die Länge
> 1 bringen würde, somit hätte ich den Vektor [mm]\vec e[/mm] und
> würde den Rauminhalt des Spats über das Lösen der
> Determinante der Vektoren [c,d,e] ermitteln.
>
> Es wäre wirklich sehr nett, wenn mir jemand helfen
> könnte, denn ich kann mir Nachhilfe momentan leider nicht
> leisten.
>
> Vielen Lieben Dank im Voraus. Die Ali
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
|
