Reelle Partialbruchzerlegung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 So 11.10.2009 | | Autor: | phychem |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1027589#post1027589
Hallo
Es geht um die Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen, die sich als Quotienten reeller Polynome schreiben lassen. Auf Wikipedia findet man eine Anleitung, wie man im Falle komplexer Polstellen Partialbrüche, die komplexe Zahlen enthalten, vermeiden kann (siehe Einleitung):
http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
Dies scheint auf den ersten Blick sehr einleuchtend. Dass der Nenner eines solchen "Partialbruches 2.Art" reell ist, verstehe ich. Ich bin auch in der Lage, im Fall einer einfachen komplexen Polstelle zu beweisen, dass der Zähler reell ist. Meiner Meinung nach macht dieses Konzept bei einer mehrfachen komplexen Nullstelle aber überhaupt keinen Sinn. Kann mir jemand erklären, wie der Zähler "b+cx "bei einer mehrfachen komplexen Polstelle zustande kommt? Wie kann man höhere Potenzen von x vermeiden?
Schon der einfachste Fall, nämlich der einer zweifachen komplexen Polstelle, kann nicht in eine solche Form gebracht werden.
ps: Ich weiss, dass die beiden a-Werte zweer komplex konjugierter Polstellen ebenfalls komplex konjugiert sind...
mfg phychem
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Sagen wir mal, du hast eine rationale Funktion $R$, die in $z = x + i y$ mit $x, y [mm] \in \IR$, [/mm] $y [mm] \neq [/mm] 0$ eine $n$-fache Polstelle hat. Dann hat sie ebenfalls eine $n$-fache Polstelle in $x - i y$.
Nun hat das Polynom $(z - (x + i y)) (z - (x - i y)) = z - (2 x) z + [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)$ [/mm] genau die Nullstellen $x + i y$ und $x - i y$, und zwar jeweils einfach. Wenn du also $R$ mit $(z - (2 x) z + [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2))^n$ [/mm] multiplizierst, hat $R [mm] \cdot [/mm] (z - (2 x) z + [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2))^n$ [/mm] weder einen Pol in $x + i y$ noch einen in $x - i y$.
Die Idee bei der Partialbruchzerlegung ist, dass du eine Art "Division mit Rest" machst: du schreibst $R [mm] \cdot [/mm] (z - (2 x) z + [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2))^n [/mm] = Q [mm] \cdot [/mm] (z - (2 x) z + [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2))^n [/mm] + R'$, wobei $R'$ ein Polynom vom Grad kleiner als $2 n$ ist und $Q$ eine rationale Funktion, die in $x + i y$ und $x + i z$ keinen Pol hat; dann ist $R = Q + [mm] \frac{R'}{(z - (2 x) z + (x^2 + y^2))^n}$.
[/mm]
Den Term [mm] $\frac{R'}{(z - (2 x) z + (x^2 + y^2))^n}$ [/mm] kannst du jetzt noch umschreiben: setze $A := z - (2 x) z + [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)$; [/mm] Divison mit Rest liefert $R' = [mm] q_1 [/mm] A + [mm] r_1$ [/mm] mit [mm] $\deg r_1 [/mm] < [mm] \deg [/mm] A = 2$, also ist [mm] $r_1 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] z + [mm] b_1$ [/mm] mit [mm] $a_1, b_1 \in \IR$; [/mm] und es ist [mm] $\frac{R'}{A^n} [/mm] = [mm] \frac{q_1}{A^{n-1}} [/mm] + [mm] \frac{a_1 z + b_1}{A^n}$. [/mm] Nun kann man [mm] $q_1 [/mm] = [mm] q_2 [/mm] A + [mm] r_2$ [/mm] mit [mm] $\deg r_2 [/mm] < 2$ schreiben, also [mm] $r_2 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] z + [mm] b_2$; [/mm] dann ist [mm] $\frac{q_1}{A^{n-1}} [/mm] = [mm] \frac{q_2}{A^{n-2}} [/mm] + [mm] \frac{a_2 z + b_2}{A^{n-1}}$. [/mm] Wenn du so weitermachst, bekommst du [mm] $\frac{R'}{(z - (2 x) z + (x^2 + y^2))^n} [/mm] = [mm] \frac{a_1 z + b_1}{A(z)^n} [/mm] + [mm] \frac{a_2 z + b_2}{A(z)^{n-1}} [/mm] + [mm] \frac{a_3 z + b_3}{A(z)^{n-2}} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \frac{a_{n-1} z + b_{n-1}}{A(z)^2} [/mm] + [mm] \frac{a_n z + b_n}{A(z)}$ [/mm] (das du hier aufoherst liegt daran, dass [mm] $\deg [/mm] R' < 2 n$ ist: da [mm] $\deg q_1 \le \deg [/mm] R' - 2$, [mm] $\deg q_2 \le \deg q_1 [/mm] - 2$, ... hast du spaetestens nach $n$ Divisionen keinen Rest mehr).
Und wie du sehen kannst: alle Polynome in den Bruechen, die uebrigbleiben, haben reelle Koeffizienten.
(Du machst uebrigens bei $R'$ nichts anderes, als die $A$-adische Darstellung von $R'$ zu bestimmen -- bei Zahlen ist dir sowas sicher schonmal begegnet: wenn du die 5-adische Darstellung z.B. von 13 haben willst, schreibst du erst $163 = 32 [mm] \cdot [/mm] 5 + 3$, und dann $32 = 6 [mm] \cdot [/mm] 5 + 2$, und dann $6 = 1 [mm] \cdot [/mm] 5 + 1$: daraus folgt $163 = 3 + 5 [mm] \cdot [/mm] 2 + [mm] 5^2 \cdot [/mm] 1$. Aehnlich wie oben hast du also, also [mm] $\frac{163}{5^3} [/mm] = [mm] \frac{2}{5^3} [/mm] + [mm] \frac{2}{5^2} [/mm] + [mm] \frac{1}{5}$, [/mm] wobei die Zaehler auf der rechten Seite alle kleiner als 5 sind.
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 Mo 12.10.2009 | | Autor: | phychem |
Und ob mir das weiterhilft! Ich dank dir vielmals für diese äusserst hilfreiche Antwort.
Deiner Überlegung nach werden aus zwei Partialbrüchen
[mm] \bruch{a_{1}}{(x-z_{1})^{n}}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{2}}{(x-z_{2})^{n}}
[/mm]
mit
[mm] z_{1}=\overline{z_{2}}
[/mm]
und damit auch
[mm] a_{1}=\overline{a_{2}}
[/mm]
eine Summe von Brüchen, deren Zählerpolynome linear sind. Und genau hier liegt im Wikipedia-Artikel ein Fehler vor!
Laut Wikipedia entsteht aus den beiden obigen Brüchen genau ein Bruch mit linearem Zählerpolynom. Dies ist meiner Meinung nach aber nur für n=1 möglich.
Stimmst du mir da zu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Deiner Überlegung nach werden aus zwei Partialbrüchen
> [mm]\bruch{a_{1}}{(x-z_{1})^{n}}[/mm]
> [mm]\bruch{a_{2}}{(x-z_{2})^{n}}[/mm]
> mit
> [mm]z_{1}=\overline{z_{2}}[/mm]
> und damit auch
> [mm]a_{1}=\overline{a_{2}}[/mm]
> eine Summe von Brüchen, deren Zählerpolynome linear
> sind.
Genau.
> Und genau hier liegt im Wikipedia-Artikel ein Fehler vor!
> Laut Wikipedia entsteht aus den beiden obigen Brüchen
> genau ein Bruch mit linearem Zählerpolynom. Dies ist
> meiner Meinung nach aber nur für n=1 möglich.
Wo genau steht da etwas falsches in der Wikipedia? Auf den ersten Blick kann ich nichts entdecken.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:09 Mo 12.10.2009 | | Autor: | phychem |
Ich versuche den vermeindlichen Fehler mal wie folgt aufzuzeigen:
Es seien alle Partialbrüche in der Form
[mm] \bruch{a}{(x-z)^{j}}
[/mm]
ausgeschrieben. Man verwendet also nicht-reelle Zahlen. Um nun nicht-reelle Zahlen zu vermeiden, werden je zwei Partialbrüche
[mm] \bruch{a_{1}}{(x-z_{1})^{n}}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{2}}{(x-z_{2})^{m}}
[/mm]
mit
[mm] z_{1}=\overline{z_{2}} [/mm] und
n = m
zusammengefasst zu einem Bruch
[mm] \bruch{P}{((x-z_{1})(x-z_{2}))^{n}}
[/mm]
Dieser kann, wie du sehr schön bewiesen hast, als Summe der folgenden Form geschrieben werden:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{b_{i}x+c_{i}}{((x-z_{1})(x-z_{2}))^{n-i}}
[/mm]
Die Gesamtsumme aller Partialbrüche 2. Art müsste nun anders als im Wikipedia ein dreifache Summe bilden. Bei w bis auf Konjugation verschiedenen komplexen Polstellen der Ordnung [mm] m_{k} [/mm] wäre also:
[mm] \summe_{k=1}^{w} \summe_{n=1}^{m_{k}} \summe_{i=1}^{n} \bruch{b_{i}x+c_{i}}{((x-z_{1})(x-z_{2}))^{n-i}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:39 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich versuche den vermeindlichen Fehler mal wie folgt
> aufzuzeigen:
>
> Es seien alle Partialbrüche in der Form
>
> [mm]\bruch{a}{(x-z)^{j}}[/mm]
>
> ausgeschrieben. Man verwendet also nicht-reelle Zahlen. Um
> nun nicht-reelle Zahlen zu vermeiden, werden je zwei
> Partialbrüche
>
>
> [mm]\bruch{a_{1}}{(x-z_{1})^{n}}[/mm]
> [mm]\bruch{a_{2}}{(x-z_{2})^{m}}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]z_{1}=\overline{z_{2}}[/mm] und
> n = m
>
> zusammengefasst zu einem Bruch
>
> [mm]\bruch{P}{((x-z_{1})(x-z_{2}))^{n}}[/mm]
>
> Dieser kann, wie du sehr schön bewiesen hast, als Summe
> der folgenden Form geschrieben werden:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{b_{i}x+c_{i}}{((x-z_{1})(x-z_{2}))^{n-i}}[/mm]
Nicht ganz, hier kommt der Exponent $n$ gar nicht vor, dafuer aber der Exponent 0.
> Die Gesamtsumme aller Partialbrüche 2. Art müsste nun
> anders als im Wikipedia ein dreifache Summe bilden. Bei w
> bis auf Konjugation verschiedenen komplexen Polstellen der
> Ordnung [mm]m_{k}[/mm] wäre also:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{w} \summe_{n=1}^{m_{k}} \summe_{i=1}^{n} \bruch{b_{i}x+c_{i}}{((x-z_{1})(x-z_{2}))^{n-i}}[/mm]
Nun, die letzten beiden Summen [mm] $\sum_{n=1}^{m_k} \sum_{i=1}^n$ [/mm] kannst du zu einer zusammenfassen: wenn du zwei Terme mit $n - i = n' - i'$ hast, dann ist die Summe der Zaehler wieder ein linearer Term.
Damit reicht es also aus, eine Summe mit [mm] $\ell$ [/mm] (welches $n - i$ entspricht) zu haben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:08 Mo 12.10.2009 | | Autor: | phychem |
Achso. Nun ergibt alles einen Sinn.
Dieser letzte Denkschritt war eigentlich absolut trivial.
Ohne eine Hinweis zur Herleitung ist diese Darstellung der Summe aller Partialbrüche komplexer Polstellen nicht gerade einfach nachzuvollziehen. Du hast mir die reelle PBZ aber schön Schritt für Schritt näher gebracht, so dass ich den zugehörigen Wikipedia-Artikel nun problemlos verstehe. Besser hätte man mir wohl nicht helfen können.
Ich dank dir vielmals für dein Bemühen!
Liebe Grüsse aus der Schweiz
phychem
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:13 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo phychem!
> Dieser letzte Denkschritt war eigentlich absolut trivial.
>
>
> Ohne eine Hinweis zur Herleitung ist diese Darstellung der
> Summe aller Partialbrüche komplexer Polstellen nicht
> gerade einfach nachzuvollziehen. Du hast mir die reelle
> PBZ aber schön Schritt für Schritt näher gebracht, so
> dass ich den zugehörigen Wikipedia-Artikel nun problemlos
> verstehe. Besser hätte man mir wohl nicht helfen können.
Das freut mich :)
Falls dich das weitergehend interessiert, und du die passenden Hilfsmittel aus der Algebra kennst (den ![[]](/images/popup.gif) chinesischen Restsatz in seiner abstrakten Version): dies kann man auch ganz allgemein fuer den rationalen Funktionenkoerper (der besteht aus Bruechen von Polynomen, also wie ganz normale rationale Funktionen ueber [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$) [/mm] ueber einem beliebigen Grundkoerper machen.
Wenn du eine rationale Funktion $f = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] hast mit (paarweise teilerfremden) Polynomen $p, q [mm] \in [/mm] K[x]$, $q$ ohne Einschraenkung normiert, dann kannst du $q$ eindeutig als Produkt von irreduziblen Polynomen schreiben: $q = [mm] \prod_{i=1}^n q_i^{e_i}$ [/mm] mit [mm] $q_i \in [/mm] K[x]$, [mm] $e_i \in \IN_{>0}$, [/mm] wobei die [mm] $q_i$ [/mm] paarweise verschieden und normiert sind. (Im Fall $K = [mm] \IC$ [/mm] sind alle [mm] $q_i$ [/mm] von Grad 1, also entsprechen den komplexen Polstellen von $r$; im Fall $K = [mm] \IR$ [/mm] sind sie von Grad 1 oder 2, wobei die von Grad 1 den reellen Polstellen von $r$ und die von Grad 2 den komplex konjugierten Paaren von komplexen Polstellen von $r$ entsprechen).
Nun kannst du eine (eindeutige!) Darstellung $r = p' + [mm] \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{e_i} \frac{a_{ij}}{p_i^j}$ [/mm] finden mit Polynomen [mm] $a_{ij} \in [/mm] K[x]$ mit [mm] $\deg a_{ij} [/mm] < [mm] \deg p_i$. [/mm] Dies machst du wie folgt:
1) Schreibe (Divison mit Rest) $p = p' [mm] \prod_{i=1}^n q_i^{e_i} [/mm] + r'$ mit Polynomen $p', r' [mm] \in [/mm] K[x]$ mit [mm] $\deg [/mm] r' < [mm] \deg [/mm] q = [mm] \deg \prod_{i=1}^n q_i^{e_i}$.
[/mm]
2) Die Polynome [mm] $q_i^{e_i}$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ sind paarweise teilerfremd. Nach dem chinesischen Restsatz gibt es eindeutig bestimmte [mm] $a_i \in [/mm] K[x]$, [mm] $\deg a_i [/mm] < [mm] \deg q_i^{e_i}$ [/mm] mit $r' = [mm] \sum_{i=1}^n a_i \prod_{j=1 \atop j \neq i}^n q_j^{e_j}$.
[/mm]
(Dies ist aequivalent zu der abstrakten Aussage des chinesischen Restsatzes, dass die Abbildung $K[x] / [mm] (\prod_{i=1}^n q_i^{e_i}) \to \prod_{i=1}^n K[x]/(q_i^{e_i})$, [/mm] $f [mm] \mapsto [/mm] (f + [mm] (q_1^{e_i}), \dots, [/mm] f + [mm] (q_n^{e_n}))$ [/mm] ein Ringisomorphismus ist.)
Damit haben wir $r = [mm] \frac{p}{q} [/mm] = p' + [mm] \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{q_i^{e_i}}$ [/mm] mit [mm] $\deg a_i [/mm] < [mm] \deg q_i^{e_i}$. [/mm] Jetzt kann man, genauso wie bei [mm] $\IR$, $\frac{a_i}{q_i^{e_i}} [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{e_i} \frac{a_{ij}}{q_i^j}$ [/mm] schreiben mit [mm] $\deg a_{ij} [/mm] < [mm] \deg q_i$, [/mm] und schon hat man die gesuchte Darstellung.
Das war jetzt sehr abstrakt und eventuell wirst du erst spaeter im Studium die passenden Hilfsmittel kennenlernen, um das richtig zu verstehen. Aber vielleicht ist das spaeter dann interessant wenn du das kennst und dies hier nochmal durchliest ;)
Eine weitere Sache, die du eventuell spaeter erst richtig verstehst. Und zwar kannst du zu [mm] $\IR$ [/mm] ja noch [mm] $\infty$ [/mm] hinzufuegen (ohne Vorzeichen): dann bekommst du die projektive Gerade [mm] $\mathbb{P}^1(\IR)$ [/mm] ueber [mm] $\IR$ [/mm] (ein eindimensionaler projektiver Raum). Die rationalen Funktionen kann man jetzt als Funktionen [mm] $\mathbb{P}^1(\IR) \to \mathbb{P}^1(\IR)$ [/mm] auffassen (wenn sie den Wert [mm] $\infty$ [/mm] annehmen, haben sie einen Pol).
Zu jedem $t [mm] \in \IR$ [/mm] hat die lineare Funktion [mm] $\frac{1}{x - t} [/mm] : [mm] \mathbb{P}^1(\IR) \to \mathbb{P}^1(\IR)$ [/mm] genau in $t$ einen Pol und sonst nirgends. Die Funktion $x : [mm] \mathbb{P}^1(\IR) \to \mathbb{P}^1(\IR)$ [/mm] dagegen hat in [mm] $\IR$ [/mm] keinen Pol, jedoch einen einfachen bei [mm] $\infty$. [/mm] Dies erlaubt nun, den polynomiellen Teil $p'$ der Partialbruchzerlegung richtig zu interpretieren: dieser ist sozusagen die Partialbruchentwicklung im Unendlichen! Es ist ja $p' = [mm] \sum_{i=1}^k a_i x^i [/mm] + [mm] a_0$: [/mm] wenn du jetzt bedenkst, dass $x$ anstelle [mm] $\frac{1}{x - t}$ [/mm] tritt, dann ist das genau das gleiche wie z.B. [mm] $\sum_{j=1}^{e_i} \frac{a_{ij}}{q_i^j}$ [/mm] plus eine Konstante: da [mm] $\deg [/mm] x = 1$ ist, sind die Koeffizienten von Grad $< 1$, also sind sie gerade Konstanten, naemlich die [mm] $a_i$!
[/mm]
Wenn du also [mm] $q_{n+1} [/mm] := [mm] \frac{1}{x}$, $e_{n+1} [/mm] := k$, [mm] $a_{n+1,j} [/mm] := [mm] a_j$ [/mm] definierst, bekommst du die Partialbruchzerlegung
$r = [mm] a_0 [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^{n+1} \sum_{j=1}^{e_j} \frac{a_{ij}}{q_i^j}$: [/mm] du kannst also jede rationale Funktion schreiben als Konstante plus Polstellen.
Falls du uebigens mal eine Funktionentheorievorlesung besuchst, wirst du [mm] $\mathbb{P}^1(\IC)$ [/mm] kennenlernen als [mm] $\IC \cup \{ \infty \}$ [/mm] -- die Gausssche Zahlenkugel. Wenn du nun die meromorphen Funktionen [mm] $\mathbb{P}^1(\IC) \to \mathbb{P}^1(\IC)$ [/mm] anschaust, dann sind dies exakt die rationalen Funktionen mit Koeffizienten in [mm] $\IC$ [/mm] (das ergibt sich irgendwann aus der Theorie). Und das obige sagt, das man jede solche Funktion eindeutig darstellen kann, naemlich als konstanten Term (der holomorphe Anteil) plus jeweils den Hauptteil in allen Polstellen.
Liebe Gruesse aus Kanada,
Felix
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