Reduzierte Stufenform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Gesucht sei die reduzierte Stufenform eines linearen Gleichungssystem über [mm] \IZ_{7}. [/mm] Die Matrix dazu sieht wie folgt aus:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 3 & 6 & 6 & 2 \\ 1 & 4 & 0 & 4} [/mm] |
Da die reduzierte Stufenform immer eindeutig ist, sollte ich eigentlich dasselbe Ergebnis wie im Skript heraus haben, aber irgendwie ist das nicht der Fall:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 3 & 6 & 6 & 2 \\ 1 & 4 & 0 & 4} [/mm] (Zeilentauschen) [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 4 & 0 & 4 \\ 3 & 6 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4} [/mm] | (Z1) * 3 [mm] \Rightarrow \pmat{ (1 & 4 & 0 & 4) \\3 & 12 & 0 & 12 \\ 3 & 6 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4} [/mm] |Z2 = Z2 - Z1(neu) [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 4 & 0 & 4 \\ 0 & -6 & 6 & -10 \\ 0 & 0 & 1 & 4} [/mm] da es über [mm] \IZ_{7} [/mm] ist [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 4 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4}
[/mm]
Laut Skript sollte aber herauskommen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4}
[/mm]
Wo ist da nun der Fehler? Führe ich "illegale" Umformungen durch oder ist eines der beide nicht die reduzierte Stufenform?
Danke!
|
|
| |
|
> Gesucht sei die reduzierte Stufenform eines linearen
> Gleichungssystem über [mm]\IZ_{7}.[/mm] Die Matrix dazu sieht wie
> folgt aus:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 3 & 6 & 6 & 2 \\ 1 & 4 & 0 & 4}[/mm]
>
> Da die reduzierte Stufenform immer eindeutig ist, sollte
> ich eigentlich dasselbe Ergebnis wie im Skript heraus
> haben, aber irgendwie ist das nicht der Fall:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 3 & 6 & 6 & 2 \\ 1 & 4 & 0 & 4}[/mm]
> (Zeilentauschen) [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 4 & 0 & 4 \\ 3 & 6 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4}[/mm]
> | (Z1) * 3 [mm]\Rightarrow \pmat{ (1 & 4 & 0 & 4) \\3 & 12 & 0 & 12 \\ 3 & 6 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4}[/mm]
> |Z2 = Z2 - Z1(neu) [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 4 & 0 & 4 \\ 0 & -6 & 6 & -10 \\ 0 & 0 & 1 & 4}[/mm]
> da es über [mm]\IZ_{7}[/mm] ist [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 4 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4}[/mm]
>
> Laut Skript sollte aber herauskommen:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4}[/mm]
>
> Wo ist da nun der Fehler? Führe ich "illegale" Umformungen
> durch oder ist eines der beide nicht die reduzierte
> Stufenform?
Hallo,
ja, da liegt der Hund begraben. Deins ist noch nicht die reduzierte Stufenform, denn es müssen über den führenden Einsen der Nichtnullzeilen noch Einsen Nullen erzeugt werden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Pille456 |
Naja zur Lösung des Gleichungssystems reicht meine Matrix ja auch oder?
Da Frage ich mich nur, wofür man diese reduzierte Form braucht und vorallendingen wie man diese erreicht. Klar durch sequenzielles anwenden des Gauß Algorithmus, also den drei Regeln, aber da müsste ich bei jedem Gleichungssystem neu schauen welche Regel ich wie wann anwenden sollte/könnte.
Für ein Computerprogramm (bzw. für stupides rechnen) wäre es vielleicht sinnvoll eine Art Reihenfolge zu haben. Um eine Matrix in Stufenform zu bringen gehe ich immer nach dem Schema von oben vor, aber wie komme ich von da in die reduzierte Form?
|
|
|
| |
|
Hallo,
Achtung: Al Chwarizmi hat mich daraufhingewiesen, daß mir in meinem vorherigen Post ein Fehler unterlaufen ist. Über den Einsen müssen natürlich Nullen stehen.
> Naja zur Lösung des Gleichungssystems reicht meine Matrix
> ja auch oder?
Ja, aber mit der red. Form ist die Lösung noch bequemer.
> Da Frage ich mich nur, wofür man diese reduzierte Form
> braucht und vorallendingen wie man diese erreicht.
Wenn Du in $ [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 4 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4} [/mm] $ von der 1.Zeile das Vierfache der zweiten abziehst, hast Du ein Tel dessen, was Du willst, schon erreicht, wie#s weitergeht, wirst Du nun wissen.
Aus der red. ZSF kann man auch eine basis des kerns sehr einfach ablesen: man schiebt da, wo eine Stufe fehlt, eine Zeile mit einer -1 und sonst Nullen ein.
Die Spalten mit einer -1 über den Nullen sind dann eine Basis des Kerns. Hier:
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4\\ \red{0 & 0 & 0 & -1}} [/mm] $ ==> [mm] \vektor{0\\1\\4\\-1} [/mm] (hier: [mm] =\vektor{0\\1\\4\\6} [/mm] ) ist eine Basis des Kerns.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
