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Forum "Algebra" - Reduzibel, Nullstelle
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Reduzibel, Nullstelle: Zerlegung einer Funktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 So 08.06.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Gegeben sei [mm] $f\in [/mm] K[T]$ mit $deg [mm] f\in\{2,3\}$. [/mm]
Zeigen Sie: f ist reduzibel genau dann wenn f eine Nullstelle in K hat.

Hi, ist dieser Beweis korrekt?

"Reduzibel [mm] $\Rightarrow$ [/mm]  f hat Nullstelle in K

Sei [mm] $f\in [/mm] K[T]$ mit [mm] $deg\,\, f\in\{2,3\}$ [/mm] reduzibel, dann existiert für

[mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ [/mm] mit [mm] $a,b,c,d\in [/mm] K$ und [mm] $a\neq 0\vee b\neq [/mm] 0$ (Also ist nicht a und b gleichzeitig Null, sonst wäre ja der Grad nicht 2, oder 3)

eine Zerlegung

[mm] $(a'x^2+b'x+c')(x-d')=f(x)$ [/mm] mit [mm] $a'\neq 0\vee b'\neq [/mm] 0$, mit d' ist Nullstelle von f.

Das war die Hinrichtung. Nun zur Rückrichtung:

"f hat Nullstelle [mm] $\Rightarrow$ [/mm] f ist reduzibel"

Da f eine Nullstelle hat und [mm] $deg\,\, f\in\{2,3\}$ [/mm] hat f mindestens einen linear Faktor.



Passt das so? Die Rückrichtung ist ja ziemlich trivial.

        
Bezug
Reduzibel, Nullstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:24 Mo 09.06.2014
Autor: meili

Hallo,

> Gegeben sei [mm]f\in K[T][/mm] mit [mm]deg f\in\{2,3\}[/mm].
> Zeigen Sie: f ist reduzibel genau dann wenn f eine
> Nullstelle in K hat.
>  Hi, ist dieser Beweis korrekt?
>  
> "Reduzibel [mm]\Rightarrow[/mm]  f hat Nullstelle in K
>  
> Sei [mm]f\in K[T][/mm] mit [mm]deg\,\, f\in\{2,3\}[/mm] reduzibel, dann
> existiert für
>
> [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm] mit [mm]a,b,c,d\in K[/mm] und [mm]a\neq 0\vee b\neq 0[/mm]
> (Also ist nicht a und b gleichzeitig Null, sonst wäre ja
> der Grad nicht 2, oder 3)
>  
> eine Zerlegung
>  
> [mm](a'x^2+b'x+c')(x-d')=f(x)[/mm] mit [mm]a'\neq 0\vee b'\neq 0[/mm], mit d'
> ist Nullstelle von f.

[ok]
Vielleicht noch eine Begründung, warum jede Zerlegung von f einen
Linearfaktor enthält.

>  
> Das war die Hinrichtung. Nun zur Rückrichtung:
>  
> "f hat Nullstelle [mm]\Rightarrow[/mm] f ist reduzibel"
>  
> Da f eine Nullstelle hat und [mm]deg\,\, f\in\{2,3\}[/mm] hat f
> mindestens einen linear Faktor.

[ok]
Diese Richtung gilt auch unabhängig vom Grad von f, wenn $deg [mm] f\ge [/mm] 1$.

>  
>
>
> Passt das so? Die Rückrichtung ist ja ziemlich trivial.

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Reduzibel, Nullstelle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:22 Mo 09.06.2014
Autor: YuSul

Okay, vielen Dank.

Bezug
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