Rechtsnebenklasse/normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien G eine endliche Gruppe und H [mm] \le [/mm] G eine Untergruppe. Zeige:
i) H besitzt genau[G:H] rechtsnebenklassen
ii) Gilt [G:H]=2, so ist H ein Normalteiler. |
Meine Idee zu ii):
Zu zeigen [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G: gH=Hg
Falls g [mm] \in [/mm] H, dann ist gH=H=Hg, da H eine bzgl. "*" abgeschlossene Menge ist.
Andernfalls, wenn g [mm] \not\in [/mm] H, dann gilt g=g*1 [mm] \in [/mm] gH= G/H und g= 1*g [mm] \in [/mm] Hg=G/H. Und damit gH=Hg
Ist das richtig? Und kann jemand ein Tipp zu i) geben?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Di 15.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Es seien G eine endliche Gruppe und H [mm]\le[/mm] G eine
> Untergruppe. Zeige:
> i) H besitzt genau[G:H] rechtsnebenklassen
> ii) Gilt [G:H]=2, so ist H ein Normalteiler.
> Meine Idee zu ii):
> Zu zeigen [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G: gH=Hg
Ja.
> Falls g [mm]\in[/mm] H, dann ist gH=H=Hg, da H eine bzgl. "*"
> abgeschlossene Menge ist.
Ja.
> Andernfalls, wenn g [mm]\not\in[/mm] H, dann gilt g=g*1 [mm]\in[/mm] gH= G/H
> und g= 1*g [mm]\in[/mm] Hg=G/H. Und damit gH=Hg
> Ist das richtig?
Vermutlich ist das richtig. Um es genauer beurteilen zu koennen, muesstest Du sagen, wie $[G:H]$ definiert ist. Ausserdem muesstest Du deutlich machen, wo genau die Voraussetzung eingeht. Was meinst Du mit $gH= G/H$und $Hg= G/H$? Sind das Links- oder Rechtsnebenklassen? Wie folgt daraus die Gleicheit der beiden Mengen? Ich vermute stark, dass man Teil i) gut benutzen kann.
> Und kann jemand ein Tipp zu i) geben?
Finde eine Bijektion.
>
|
|
|
|
