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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Hallo!
Ich soll mal wieder etwas mit vollst. Induktion beweisen. Allerdings habe ich eine solche Art von Aufgabe noch nicht gehabt, denn hier muss ich die Rechtskürzungsregel beweisen:
n + k = m + k [mm] \Rightarrow [/mm] n = m
Hmmm... WIe gesagt, was mich hier stört, ist die Tatsache, dass ich hier gleich zwei Gleichungen habe, die ich ja offensichtlich im Zusammenhang beweisen muss...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo!
> Ich soll mal wieder etwas mit vollst. Induktion beweisen.
> Allerdings habe ich eine solche Art von Aufgabe noch nicht
> gehabt, denn hier muss ich die Rechtskürzungsregel
> beweisen:
>
> n + k = m + k [mm]\Rightarrow[/mm] n = m
>
> Hmmm... WIe gesagt, was mich hier stört, ist die Tatsache,
> dass ich hier gleich zwei Gleichungen habe, die ich ja
> offensichtlich im Zusammenhang beweisen muss...
>
Warum willst du hier etwas mit vollständiger Induktion beweisen? das geht überhaupt nicht, weil n,m und k aus einer beliebigen Gruppe sind, vermute ich.
Was tu tun kannst ist z.B. die äquivalente Umformung des "an rechts Heranaddierens". Also:
$n+k = m +k $
[mm] $\gdw [/mm] n+k -k = m +k -k$
[mm] $\gdw [/mm] n= m$
Dabei habe ich $-k$ aufaddieret, was in einer beliebigen Gruppe als additives Invereses zu k auch definiert ist. Ich denke der Beweis ist damit fertig.
Gruß Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Sandycgn, lieber Micha!
Ich denke nicht, dass es sich um eine Gruppe handelt, sondern dass es um die natürlichen Zahlen geht und man die Kürzungseigenschaft nur aus den Peano-Axiomen heraus ableiten soll.
Der Induktionsanfang ist dann aber bereits eines der Peano-Axiome, wenn mich nicht alles täuscht (zwei Zahlen, die den gleichen Nachfolger haben, sind gleich).
Und der Induktionsschluss ist dann auch nicht schwierig, wenn man ihn zweimal anwendet und dabei eine erweiterte Induktion durchführt (sprich, man leitet die Aussage für $n+1$ nicht nur aus der Gültigkeit für $n$, sondern für [mm] $i\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] her.
Korrigiert mich ruhig, wenn ich das falsch erzähle. 
Liebe Grüße
Stefan
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