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Rechteck in Dreieck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Sa 25.09.2010
Autor: Amicus

Aufgabe
In einem gleichseitigen Dreieck hat die Seitenlänge die feste Längenmaßzahl a > 0. Diesem Dreieck wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass eine Rechteckseite auf einer Dreiecksseite liegt. Wie lang sind die Rechteckseiten zu wählen, damit das Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt hat?



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Extemalbedingung:
A(x;y) = x mal y

Nebenbedingung:

2.Strahlensatz:
h (Höhe des Dreiecks)

h-y/h = x/a

Satz des Pythagoras:

h= [mm] \wurzel{3} [/mm] mal a/2


Ich habe jetzt als Zielfunktion A(y) = [mm] y-2y²/\wurzel{3}. [/mm]
Ist das richtig?
Mein Lehrer hat als Lösung A(y) = [mm] ay/2-2y²/\wurzel{3} [/mm]
angegeben. Aber der vertut sich auch mal öfters.
Was ist richtig und wie kommt man drauf?

LG

        
Bezug
Rechteck in Dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Sa 25.09.2010
Autor: Steffi21

Hallo

x und y sind die Rechteckseiten,

nach Strahlensatz: [mm] \bruch{h-y}{\bruch{x}{2}}=\bruch{h}{\bruch{a}{2}} [/mm]

umgestellt nach [mm] x=\bruch{ah-ay}{h} [/mm]

einsetzen von [mm] h=\wurzel{3}*\bruch{a}{2} [/mm]


[mm] x=\bruch{a\wurzel{3}*\bruch{a}{2}-ay}{\wurzel{3}*\bruch{a}{2}} [/mm]

[mm] x=\bruch{2*(a\wurzel{3}*\bruch{a}{2}-ay)}{\wurzel{3}*a} [/mm]

[mm] x=\bruch{\wurzel{3}*a-2y}{\wurzel{3}} [/mm]

[mm] x=a-\bruch{2y}{\wurzel{3}} [/mm]

eingesetzt in die Hauptbedingung

[mm] A(y)=(a-\bruch{2y}{\wurzel{3}})*y [/mm]

[mm] A(y)=ay-\bruch{2y^{2}}{\wurzel{3}} [/mm]

Steffi

Bezug
                
Bezug
Rechteck in Dreieck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Sa 25.09.2010
Autor: Amicus

Sicher, dass der 1.Strahlensatz (ich habe den zweiten verwendet) so
richrig ist und man beim zweiten Bruch im Nenner nicht a, sondern a/2
schreiben müsste?

LG

Bezug
                        
Bezug
Rechteck in Dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Sa 25.09.2010
Autor: Steffi21

Hallo, na klar, sorry

[mm] \bruch{h-y}{\bruch{x}{2}}=\bruch{h}{\bruch{a}{2}} [/mm]

ich ändere es in der 1. Antwort,

Steffi



Bezug
                
Bezug
Rechteck in Dreieck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:09 Sa 25.09.2010
Autor: Amicus

Das hab ich jetzt auch raus!
Vielen Dank! Dann hat mein Lehrer wohl nen Fehler gemacht, bei ihm steht beim Minuenden noch ne 2 im Nenner.

LG

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