Rechteck, größter Umfang < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 So 30.03.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie von allen Rechtecken mit der gleichen Diagonallänge dasjenige mit dem größten Umfang. |
Hallo Zusammen,
die Extremalbedingung lautet: U(a,b)=2a+2b
Nebenbedingung: a = [mm] \wurzel{d²-b²} [/mm] = [mm] (d²-b²)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
dann einsetzen:
U(b) = [mm] 2(d²-b²)^{\bruch{1}{2}}+2b
[/mm]
U'(b) = [mm] (d²-b²)^{-\bruch{1}{2}}(-2b)+2
[/mm]
U''(b) = [mm] -\bruch{1}{2}(d²-b²)^{-\bruch{3}{2}}(-2b)(-2)
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{2}(d²-b²)^{-\bruch{3}{2}}(4b)
[/mm]
stimmen die Ableitungen soweit? wenn ich bei der zweiten Ableitung für d=5 und b=4 einsetze, kommt in der Lösung [mm] -\bruch{50}{27} [/mm] raus. Bei meiner Ableitung aber nicht, wo liegt da der Fehler?
Nun setze ich die erste Ableitung Null, um zu sehen, wo ein Extremwert vorliegt:
[mm] (d²-b²)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{-2b}
[/mm]
[mm] (d²-b²)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] = b
wie löse ich dann weiter nach b auf?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 So 30.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo itse,
wenn ich das richtig sehe, hast Du vergessen, bei der zweiten Ableitung die Produktregel anzuwenden. In Deiner ersten Ableitung kommt nämlich ein Produkt in b vor:
$$ [mm] U^{'}(b)=(d²-b²)^{-\bruch{1}{2}}(-2b)+2$$
[/mm]
Um den Extremwert zu finden, quadrierst Du Deine Gleichung und löst diese dann zum Beispiel mit Hilfe der p-q-Formal nach b auf. Allerdings hast Du dabei das Minuszeichen im Exponenten übersehen, die Gleichung muss heissen:
$$ [mm] (d²-b²)^{\bruch{1}{2}} [/mm] = b $$
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 So 30.03.2008 | | Autor: | itse |
> Hallo itse,
> wenn ich das richtig sehe, hast Du vergessen, bei der
> zweiten Ableitung die Produktregel anzuwenden. In Deiner
> ersten Ableitung kommt nämlich ein Produkt in b vor:
> [mm]U^{'}(b)=(d²-b²)^{-\bruch{1}{2}}(-2b)+2[/mm]
U'(b) = [mm] [-\bruch{1}{2}(d²-b²)^{-\bruch{3}{2}}(-2b)](-2b)-2(d²-b²)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
nun müsste es stimmen, kann man dies noch zusammenfassen bzw. vereinfachen?
> Um den Extremwert zu finden, quadrierst Du Deine Gleichung
> und löst diese dann zum Beispiel mit Hilfe der p-q-Formal
> nach b auf. Allerdings hast Du dabei das Minuszeichen im
> Exponenten übersehen, die Gleichung muss heissen:
> [mm](d²-b²)^{\bruch{1}{2}} = b[/mm]
warum muss die Gleichung so heissen? Diese lautet:
[mm] (d²-b²)^{-\bruch{1}{2}}(-2b)+2 [/mm] = 0 |-2; /-2b
[mm] (d²-b²)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] = b
soweit müsste es doch stimmen? wie quadriere ich die Gleichung dann, etwa so:
[mm] -[\wurzel{(d²-b²)}]² [/mm] = b²
-(d²-b²) = b² ?
oder weiter potenzieren:
[mm] d^{-1} [/mm] - [mm] b^{-1} [/mm] = b, wie geht es dann hier weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 So 30.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Ja, jetzt stimmt die zweite Ableitung, zusammenfassen lässt sich da kaum was, wenn ich es richtig sehe.
Mit der Umstellung der Gleichung für den Extremalwert stimmt aber was noch nicht. Du bringst die 2 auf die andere Seite der Gleichung und teilst durch (-2b), dann kann doch auf der rechten Seite der Gleichung b nicht im Zähler auftauchen, denn da steht doch jetzt [mm] \bruch{-2}{-2b}= \bruch{1}{b} [/mm].
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 So 30.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Mit der Umstellung der Gleichung für den Extremalwert
> stimmt aber was noch nicht. Du bringst die 2 auf die andere
> Seite der Gleichung und teilst durch (-2b), dann kann doch
> auf der rechten Seite der Gleichung b nicht im Zähler
> auftauchen, denn da steht doch jetzt [mm]\bruch{-2}{-2b}= \bruch{1}{b} [/mm].
okay, dann steht da:
-(d²-b²) = [mm] \bruch{1}{b²}
[/mm]
-d²+b² = [mm] \bruch{1}{b²} [/mm] |-b²
-d² = [mm] \bruch{1}{b²} [/mm] - b²
-d² = [mm] \bruch{1-b^4}{b²}
[/mm]
die Gleichung soll nach b aufgelöst werden, wie geht es dann weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 So 30.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
we Du das Minuszeichen reingeschmuggelt hast auf der linken Seite der Gleichung weiss ich nicht, auf jeden Fall gehört es da nicht hin.
$$ (d²-b²) = b² $$ bleibt übrig und das lässt sich nach b auflösen.
Viel Erfolg,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Mo 31.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> we Du das Minuszeichen reingeschmuggelt hast auf der linken
> Seite der Gleichung weiss ich nicht, auf jeden Fall gehört
> es da nicht hin.
> [mm](d²-b²) = \bruch{1}{b²}[/mm] oder auch
es steht da:
[mm] (d²-b²)^{-\bruch{1}{2}}(-2b)+2 [/mm] = 0
[mm] (d²-b²)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{b} [/mm] |nun quadrieren
wie geht das? etwa so:
[mm] ((d²-b²)^{-\bruch{1}{2}})² [/mm] = [mm] \bruch{1²}{b²}
[/mm]
[mm] (d²-b²)^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{b²}
[/mm]
wie komm ich denn auf: (d²-b²) = [mm] \bruch{1}{b²}
[/mm]
> [mm]b^4-d^2b^2+1 = 0[/mm]
es müsste doch: [mm] b^4-d^2b^2 [/mm] - 1 = 0 heissen?
> Nun kannst Du [mm]b^2 = t[/mm] setzen
was soll t sein?
> und erhälst auf diese Weise eine quadratische Gleichung, die Du auflösen kannst.
Vielen Dank.
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> [mm](d²-b²)^{-\bruch{1}{2}}(-2b)+2[/mm] = 0
>
> [mm](d²-b²)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{b}[/mm] |nun quadrieren
>
> wie geht das? etwa so:
>
> [mm]((d²-b²)^{-\bruch{1}{2}})²[/mm] = [mm]\bruch{1²}{b²}[/mm]
>
> [mm](d²-b²)^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{b²}[/mm]
Hallo,
das ist dasselbe wie
[mm] \bruch{1}{d²-b²}=\bruch{1}{b²},
[/mm]
der Kehrwert ergibt
[mm] d^2-b^2=b^2.
[/mm]
Ich nehme an, daß Du nun nach b auflösen willst. Tu's!
Gruß v. Angela
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