Rechteck einschreiben < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Einem Dreieck mit c=12 und h=8 wird das flächengrösste Rechteck eingeschrieben, sodass eine Seite des Rechtecks auf der Seite c zu liegen kommt. Dem verbleibenden Dreieck über dem Rechteck wird wie vorher ein Rechteck eingeschrieben usw. Berechnen Sie die Summe aller Rechtecksflächeninhalte. |
Kann man diese Aufgabe lösen, ohne schlussendlich eine Unbekannte zu haben?
Wenn ich in ein Dreieck das flächengrösste Rechteck einschreiben will, muss ich doch irgendeine Angabe mehr haben?
Und wie gehe ich nachher vor? Ein einzelnes Rechteck kann ich ja einschreiben (eine Aufgabe, in der alle Seiten bekannt waren und nur das eine flächengrösste Dreieck einzuschreiben war, konnte ich lösen), aber wie gehe ich vor, wenn ich unendlich viele Rechtecke einschreiben will? Irgendwie fehlt mir jeglicher Ansatz :(
Vielen Dank für eure Hilfe.
Viele Grüsse
Lukas
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Sa 06.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Einem Dreieck mit c=12 und h=8 wird das flächengrösste
> Rechteck eingeschrieben, sodass eine Seite des Rechtecks
> auf der Seite c zu liegen kommt. Dem verbleibenden Dreieck
> über dem Rechteck wird wie vorher ein Rechteck
> eingeschrieben usw. Berechnen Sie die Summe aller
> Rechtecksflächeninhalte.
> Kann man diese Aufgabe lösen, ohne schlussendlich eine
> Unbekannte zu haben?
>
> Wenn ich in ein Dreieck das flächengrösste Rechteck
> einschreiben will, muss ich doch irgendeine Angabe mehr
> haben?
Nein, musst du nicht.
Zeichne dir die Strecke AB=12 und eine Parallele im Abstand 8, auf der der Punkt C liegt.
Wenn du jetzt den Punkt C auf der Parallelen nach rechts oder links verschiebst, ändert sich zwar das Dreieck, nicht aber der Flächeninhalt (A=12*8/2).
Die beiden oberen Eckpunkte eines dem Dreieck ABC einbeschriebenen Rechtecks liegen auf einer Parallele zu AB. Sie wandern bei der Verschiebung von C nach links oder rechts auch nur auf dieser Parallelen mit, ohne ihren gegenseitigen Abstand zu ändern (folgt aus dem Strahlensatz).
Du kannst dir damit für C eine beliebige Lage aussuchen und dort ein optimales Rechteck einbeschreiben. Ich würde mir natürlich eine Lage für C aussuchen, wo das besonders einfach geht.
Gruß Abakus
>
> Und wie gehe ich nachher vor? Ein einzelnes Rechteck kann
> ich ja einschreiben (eine Aufgabe, in der alle Seiten
> bekannt waren und nur das eine flächengrösste Dreieck
> einzuschreiben war, konnte ich lösen), aber wie gehe ich
> vor, wenn ich unendlich viele Rechtecke einschreiben will?
> Irgendwie fehlt mir jeglicher Ansatz :(
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Viele Grüsse
>
> Lukas
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo Abakus
Vielen Dank schon mal für deine Antwort. Jetzt ist mir klar geworden, dass die Seite ja wirklich keine Rolle spielt :) Dies geht jedoch nur, wenn [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] < 90° sind, oder?
Zudem bin ich nun soweit, dass ich weiss, dass die Fläche des Rechtecks mit der Seite x (x [mm] \parallel [/mm] c) mit folgender Formel berechnet wird:
[mm]A=-\bruch{2x^{2}}{3}+8x[/mm]
Um die Fläche zu maximieren, muss ich ja somit den Hochpunkt berechnen. Dieser ist logischerweise bei x=6. Das grösste Recheck ist somit 6*4=24 gross.
Wie gehe ich nun weiter? Darf ich nun einfach so weiterrechnen, dass die Fläche des zweiten Rechtecks die halbe Grösse des ersten Rechtecks haben muss, weil ja das verbleibende Dreieck überhalb des Rechtecks ähnlich dem ursprünglichen Dreiecks ist und genau einen Viertel der Grösse hat.
Somit wäre ja dann das zweite Rechteck 6 gross, das dritte 1.5, etc.
Edit: habe die Grösse nochmals angepasst ... die Flächen halbieren sich ja dann, somit ist das erste Viereck 6*4, das zweite 3*2, etc. gross ... wenn ich mich nicht irre ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Sa 06.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus
>
> Vielen Dank schon mal für deine Antwort. Jetzt ist mir klar
> geworden, dass die Seite ja wirklich keine Rolle spielt :)
> Dies geht jedoch nur, wenn [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] < 90° sind,
> oder?
>
> Zudem bin ich nun soweit, dass ich weiss, dass die Fläche
> des Rechtecks mit der Seite x (x [mm]\parallel[/mm] c) mit folgender
> Formel berechnet wird:
> [mm]A=-\bruch{2x^{2}}{3}+8x[/mm]
>
> Um die Fläche zu maximieren, muss ich ja somit den
> Hochpunkt berechnen. Dieser ist logischerweise bei x=6. Das
> grösste Recheck ist somit 6*4=24 gross.
>
> Wie gehe ich nun weiter? Darf ich nun einfach so
> weiterrechnen, dass die Fläche des zweiten Rechtecks die
> halbe Grösse des ersten Rechtecks haben muss, weil ja das
> verbleibende Dreieck überhalb des Rechtecks ähnlich dem
> ursprünglichen Dreiecks ist und genau einen Viertel der
> Grösse hat.
> Somit wäre ja dann das zweite Rechteck 6 gross, das dritte
> 1.5, etc.
>
> Edit: habe die Grösse nochmals angepasst ... die Flächen
> halbieren sich ja dann, somit ist das erste Viereck 6*4,
> das zweite 3*2, etc. gross ... wenn ich mich nicht irre ;)
...also hat dein erstes Rechteck eine Fläche A (die diu schon kennst),
das nächste A/4 (halb so breit und halb so hoch),
das nächste A/16,
das nächste A/64,
das ....
Gesucht ist also die Summe von unendlich vielen, aber sehr schnell kleiner werdenden Flächen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Hallo Abakus
Danke für deine Antwort! Dann bin ich jetzt also doch auf den richtigen Wert gekommen ;)
Laut Excel gibt das ja gegen unendlich 32 ... kann man das auch "logisch" ausrechnen? (bzw. würde das auch Gymnasiast - wenn ich mich nicht irre, heisst unsere Kantonsschule so bei euch in Deutschland - verständlich zu erklären sein?) ....
Und wie schreibe ich sonst die Lösung? Stimmt das so:
[mm]A=\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{24}{4^i})[/mm]
Vielen Dank schon im voraus
Freundliche Grüsse
Lukas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Sa 06.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus
>
> Danke für deine Antwort! Dann bin ich jetzt also doch auf
> den richtigen Wert gekommen ;)
>
> Laut Excel gibt das ja gegen unendlich 32 ... kann man das
> auch "logisch" ausrechnen? (bzw. würde das auch Gymnasiast
> - wenn ich mich nicht irre, heisst unsere Kantonsschule so
> bei euch in Deutschland - verständlich zu erklären sein?)
> ....
>
> Und wie schreibe ich sonst die Lösung? Stimmt das so:
> [mm]A=\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{24}{4^i})[/mm]
Korrekt!
Hallo,
es handelt sich hier um die Summenformel der geometrischen Reihe.
Wenn man ausmultiliziert
[mm] (q-1)(q^n+q^{n-1}+q^{n-2}+...+q^3+q^2+q+1)=...
[/mm]
dann erhält man [mm] q^{n+1}-1.
[/mm]
Aus [mm] (q-1)(q^n+q^{n-1}+q^{n-2}+...+q^3+q^2+q+1)=q^{n+1}-1
[/mm]
folgt
[mm] (q^n+q^{n-1}+q^{n-2}+...+q^3+q^2+q+1)=\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}.
[/mm]
In unserem Fall ist q=0,25, und [mm] 1+0,25+0,25^2+...+0,25^n=\bruch{0,25^{n+1}-1}{0,25-1}.
[/mm]
Da n gegen unendlich geht (und damit [mm] 0,25^n [/mm] gegen Null), wird daraus [mm] \bruch{0-1}{0,25-1}=\bruch{4}{3}.
[/mm]
Die Summe ist also [mm] \bruch{4}{3}*24.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank schon im voraus
>
> Freundliche Grüsse
>
> Lukas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Sa 06.06.2009 | | Autor: | lumosimann |
Hallo Abakus
Vielen Dank für deine Erklärung. Ich glaube, ich habe es so einigermassen verstanden ... ich werde es mir dann zwar morgen nochmals anschauen, aber ich glaube, ich kann deinen Erläuterungen (knapp) folgen :) - ob ich es selber könnte, weiss ich nicht, ich werde jedoch versuchen, noch ein wenig daran zu üben ...
Vielen Dank für deine Hilfe und gute Nacht
Lukas
|
|
|
|
