Rechnen mit Polynomringen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper und K[x] der Polynomring in einer Unbestimmten x über K. Man zeige:
(i) Die Vektoren (Polynome) { [mm] (x-1)^{i} [/mm] / i [mm] \in \IN [/mm] } sind linear unabhängig.
(ii) Die Polynome { [mm] x-1)^{i}/ [/mm] i [mm] \le [/mm] m } bilden eine Basis von
K[x] [mm] _{\le m} [/mm] = {p [mm] \in [/mm] K[x] / Grad(p) [mm] \le [/mm] m} .
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So das ist die Aufgabe... =) Und ich hab null Peilung wie ich an die AUfgabe rangehen soll. Wir haben bis jetzt immer nur Vektoren auf ihre lineare unabhängigkeit bestimmt und keine Polynomringe.
Selbst wenn ich für i bestimme Zahlen aus [mm] \IN [/mm] einsetzte bringt mir das auch nicht viel, weil dasx ja immer noch da ist. Vielleicht fällt einem etwas dazu ein, wie ich da vorhgehen könnte!
mfg
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Guten Tach.
Also was stört ist das x. Ist aber nicht schlimm.
zu Aufgabe a)
Hier sollst du zeigen das Polynome verschiedenen Grades linear Unabhängig sind. Das das ist so denn wenn du dir mal ein paar polynome hinschreibst zum Beispiel für i=1,2,3 und dann versuchst das nullpolynom als linearkombination mit reelen koeffizienten hinschreibst sieht man dass. Ich überlege gerade ob man das per induktion hinbekommt. aber nicht so im normalen sinne. Fang mal an für i = 2 und 1, diese sind linear unabhängig. Dann mach das mal für n+1 wobei du annimmst das alle polynome vom gerade kleiner als n+1 l.u sind. (Ob das so geht weiß ich nicht wäre aber ein ansatz)
Dann müsstest du das hinbekommen. Die zweite aufgabe folgt direkt aus der ersten. Die polynome bis grad(m) sind Linear unabhängig(warum??) und die Dimension stimmt auch(welche?) also bilden die Polynome eine Basis des Unterraums der Polynome mit grad [mm] \le [/mm] m
Einen schönen Tach noch
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Hm ok, aber wie kann ich dann das Nullpolynom als linearkombination mit reellen koeffizienten schreiben?
ich setze doch dann ein, also für i=1 kommt dann raus [mm] (x-1)^{1} [/mm] also (x-1) und für i=2 kommt raus (x-1)² also (x²-2x+1) aber wie erkenne ich denn dann das die linear unabhängig sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Sa 01.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a_0*1+a_1*(x-1)=0 [/mm] ergibt : für jede Wahl von [mm] a_0,a_1 \ne [/mm] 0 ergibt sich genau 1 x1 für das sich 0 ergibt! für alle anderen x dann [mm] \ne [/mm] 0 . d.h. es gibt nur [mm] a_0=a_1=0 [/mm] als Lösung, da die Gl. ja für alle x gelten muss!
du kannst auch einfach 2 verschieden x einstzen, daraus ergibt sich eindeutigt [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1, [/mm] aber dann gilt es weiter nicht für alle x.
wenn du k von den Vektoren addierst, kanst du k versch x einsetzen, so dass die [mm] a_i [/mm] bestimmt sind. dann gibt es aber auch x für die es nicht erfüllt ist.
Gruss leduart.
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