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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Rechnen mit Differentialformen
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Rechnen mit Differentialformen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Mi 22.06.2011
Autor: Casy

Aufgabe
Seien [mm] w_1, w_2, w_3 [/mm] Differentialformen gegeben durch

[mm] w_1=\summe_{I\in G^{(k)}}a_Idx_I [/mm] , [mm] w_2=\summe_{J\in G^{(l)}}b_Jdx_J [/mm] , [mm] w_3=\summe_{K\in G^{(m)}}c_Kdx_K [/mm]

Zeigen Sie durch Nachrechnen:

1)  [mm] (w_1+w_2)\wedge w_3 [/mm] = [mm] w_1\wedge w_3+w_2\wedge w_3 [/mm]
2)  [mm] w_1\wedge (w_2+w_3) [/mm] = [mm] w_1\wedge w_2+w_1\wedge w_3 [/mm]
3)  [mm] (w_1\wedge w_2)\wedge w_3 [/mm] = [mm] w_1\wedge (w_2\wedge w_3) [/mm]

Hallo,

eigentlich müsste ich das ganz einfch nachrechnen können... aber leider funktioniert das nicht so, wie es soll; das heißt, ich muss irgendwo Denkfehler drin haben.

Zunächst die Definition der Multiplikation von Differentialformen:

[mm] w_1\wedge w_2=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J [/mm]

Meine Ansätze bis jetzt:

Zu 3):
[mm] (w_1\wedge w_2)\wedge w_3= [/mm]

[mm] =(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J)\wedge w_3= [/mm]

[mm] =\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_I\wedge dx_J\wedge dx_K= [/mm] (jetzt vertausche ich, deshalb Vorzeichenwechsel)

[mm] =-(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_I\wedge dx_K)= [/mm] (erneute Vertauschung, also nochmal Vorzeichenwechsel)

[mm] =\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_K\wedge dx_I= [/mm]

[mm] =(w_2\wedge w_3)\wedge w_1= [/mm] (Vetauschung, Vorzeichenwechsel)

[mm] =-w_1\wedge (w_2 \wedge w_3) [/mm]

...das ist NICHT das, was dastehen sollte, weil ich ein Minus zuviel habe.... was ist falsch??

1) geht vermutlich genauso wie 2), aber da komme ich gar nicht weiter:

[mm] (w_1+w_2)\wedge w_3= [/mm]

[mm] =(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}(a_I+b_J)(dx_I+dx_J)\wedge w_3 [/mm]

Und hier liegt das Problem: Habe ich die Addition [mm] (w_1+w_2) [/mm] so richtig ausgeschrieben?
Und wie mache ich mit [mm] \wedge w_{3} [/mm] weiter?

Mein Problem sind die "+" zwischen den [mm] dx_{I} [/mm] (bzw. [mm] dx_{J}) [/mm] und dass ich nicht weiß, wie ich das [mm] \wedge w_{3} [/mm] da einbauen muss.

Es wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, wie das geht und wo in obiger Rechnung mein Fehler liegt!

Danke im Voraus!





        
Bezug
Rechnen mit Differentialformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Mi 22.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Casy,

> Seien [mm]w_1, w_2, w_3[/mm] Differentialformen gegeben durch
>  
> [mm]w_1=\summe_{I\in G^{(k)}}a_Idx_I[/mm] , [mm]w_2=\summe_{J\in G^{(l)}}b_Jdx_J[/mm]
> , [mm]w_3=\summe_{K\in G^{(m)}}c_Kdx_K[/mm]
>  
> Zeigen Sie durch Nachrechnen:
>  
> 1)  [mm](w_1+w_2)\wedge w_3[/mm] = [mm]w_1\wedge w_3+w_2\wedge w_3[/mm]
>  2)  
> [mm]w_1\wedge (w_2+w_3)[/mm] = [mm]w_1\wedge w_2+w_1\wedge w_3[/mm]
>  3)  
> [mm](w_1\wedge w_2)\wedge w_3[/mm] = [mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> eigentlich müsste ich das ganz einfch nachrechnen
> können... aber leider funktioniert das nicht so, wie es
> soll; das heißt, ich muss irgendwo Denkfehler drin haben.
>  
> Zunächst die Definition der Multiplikation von
> Differentialformen:
>  
> [mm]w_1\wedge w_2=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J[/mm]
>  
> Meine Ansätze bis jetzt:
>  
> Zu 3):
>  [mm](w_1\wedge w_2)\wedge w_3=[/mm]
>  
> [mm]=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J)\wedge w_3=[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_I\wedge dx_J\wedge dx_K=[/mm]
> (jetzt vertausche ich, deshalb Vorzeichenwechsel)
>  
> [mm]=-(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_I\wedge dx_K)=[/mm]
> (erneute Vertauschung, also nochmal Vorzeichenwechsel)
>  
> [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_K\wedge dx_I=[/mm]
>  
> [mm]=(w_2\wedge w_3)\wedge w_1=[/mm] (Vetauschung,
> Vorzeichenwechsel)
>  
> [mm]=-w_1\wedge (w_2 \wedge w_3)[/mm]
>  
> ...das ist NICHT das, was dastehen sollte, weil ich ein
> Minus zuviel habe.... was ist falsch??


Rechne doch einfach die rechte Seite aus:

[mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)[/mm]


>  
> 1) geht vermutlich genauso wie 2), aber da komme ich gar
> nicht weiter:
>  
> [mm](w_1+w_2)\wedge w_3=[/mm]
>  
> [mm]=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}(a_I+b_J)(dx_I+dx_J)\wedge w_3[/mm]


Hier muss doch stehen:

[mm](\summe_{I\in G^{(k)}}a_I \ dx_I+\summe_{J\in G^{(l)}}b_{J} \ dx_J)\wedge w_3[/mm]


>  
> Und hier liegt das Problem: Habe ich die Addition [mm](w_1+w_2)[/mm]
> so richtig ausgeschrieben?
>  Und wie mache ich mit [mm]\wedge w_{3}[/mm] weiter?
>  
> Mein Problem sind die "+" zwischen den [mm]dx_{I}[/mm] (bzw. [mm]dx_{J})[/mm]
> und dass ich nicht weiß, wie ich das [mm]\wedge w_{3}[/mm] da
> einbauen muss.
>  
> Es wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, wie das geht
> und wo in obiger Rechnung mein Fehler liegt!
>  
> Danke im Voraus!
>  


Gruss
MathePower

  

Bezug
                
Bezug
Rechnen mit Differentialformen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Mi 22.06.2011
Autor: Casy

Hallo und danke erstmal.
>  
> > Seien [mm]w_1, w_2, w_3[/mm] Differentialformen gegeben durch
>  >  
> > [mm]w_1=\summe_{I\in G^{(k)}}a_Idx_I[/mm] , [mm]w_2=\summe_{J\in G^{(l)}}b_Jdx_J[/mm]
> > , [mm]w_3=\summe_{K\in G^{(m)}}c_Kdx_K[/mm]
>  >  
> > Zeigen Sie durch Nachrechnen:
>  >  
> > 1)  [mm](w_1+w_2)\wedge w_3[/mm] = [mm]w_1\wedge w_3+w_2\wedge w_3[/mm]
>  >  
> 2)  
> > [mm]w_1\wedge (w_2+w_3)[/mm] = [mm]w_1\wedge w_2+w_1\wedge w_3[/mm]
>  >  3)  
> > [mm](w_1\wedge w_2)\wedge w_3[/mm] = [mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)[/mm]
>  >  
> > Hallo,
>  >  
> > eigentlich müsste ich das ganz einfch nachrechnen
> > können... aber leider funktioniert das nicht so, wie es
> > soll; das heißt, ich muss irgendwo Denkfehler drin haben.
>  >  
> > Zunächst die Definition der Multiplikation von
> > Differentialformen:
>  >  
> > [mm]w_1\wedge w_2=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J[/mm]
>  
> >  

> > Meine Ansätze bis jetzt:
>  >  
> > Zu 3):
>  >  [mm](w_1\wedge w_2)\wedge w_3=[/mm]
>  >  
> > [mm]=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J)\wedge w_3=[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_I\wedge dx_J\wedge dx_K=[/mm]
> > (jetzt vertausche ich, deshalb Vorzeichenwechsel)
>  >  
> > [mm]=-(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_I\wedge dx_K)=[/mm]
> > (erneute Vertauschung, also nochmal Vorzeichenwechsel)
>  >  
> > [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_K\wedge dx_I=[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=(w_2\wedge w_3)\wedge w_1=[/mm] (Vetauschung,
> > Vorzeichenwechsel)
>  >  
> > [mm]=-w_1\wedge (w_2 \wedge w_3)[/mm]
>  >  
> > ...das ist NICHT das, was dastehen sollte, weil ich ein
> > Minus zuviel habe.... was ist falsch??
>  
>
> Rechne doch einfach die rechte Seite aus:
>  
> [mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)[/mm]

dann kommt raus:

[mm] w_1\wedge (w_2\wedge w_3)=\summe_{I\in G{(k)}}\summe_{J\in G{(l)}}\summe_{K\in G{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_I\wedge dx_J\wedge dx_K [/mm]

Perfekt, das kann ich umklammern zu
[mm] (\summe_{I\in G{(k)}}\summe_{J\in G{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J)\wedge w_3 [/mm] und bin fertig!

Aber warum hat das mit meiner "Vertauschungstechnik" nicht funktioniert? Müsste doch eigentlich, oder? Das würde mich interessieren.

>  
>
> >  

> > 1) geht vermutlich genauso wie 2), aber da komme ich gar
> > nicht weiter:
>  >  
> > [mm](w_1+w_2)\wedge w_3=[/mm]
>  >  
> > [mm]=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}(a_I+b_J)(dx_I+dx_J)\wedge w_3[/mm]
>  
>
> Hier muss doch stehen:
>  
> [mm](\summe_{I\in G^{(k)}}a_I \ dx_I+\summe_{J\in G^{(l)}}b_{J} \ dx_J)\wedge w_3[/mm]

Sehe ich auch so, aber ich weiß nicht
1. wie ich die Summen zusammenfasse. Geht das evtl. so:

[mm] (\summe_{I\in G^{(k)}}a_I [/mm] \ [mm] dx_I+\summe_{J\in G^{(l)}}b_{J} [/mm] \ [mm] dx_J)=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}(a_Idx_I+b_Jdx_J) [/mm]
?

Und 2. weiß ich nicht, wie ich [mm] \wedge w_{3} [/mm] da reinhole. Möglicherweise so:

[mm] \summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I+b_Jdx_J)c_Kdx_K [/mm]

und dann ausrechnen:

[mm] \summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I)(c_Kdx_K)+(b_Jdx_J)(c_Kdx_K)= [/mm]

[mm] =\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I)(c_Kdx_K)+\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(b_Jdx_J)(c_Kdx_K)= [/mm]

[mm] =\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ic_Kdx_I\wedge dx_K+\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}b_Jc_Kdx_J\wedge dx_K [/mm]

und fertig?
Wär super, wenn du das korrigieren oder kommentieren könntest!
>

> >  

> > Und hier liegt das Problem: Habe ich die Addition [mm](w_1+w_2)[/mm]
> > so richtig ausgeschrieben?
>  >  Und wie mache ich mit [mm]\wedge w_{3}[/mm] weiter?
>  >  
> > Mein Problem sind die "+" zwischen den [mm]dx_{I}[/mm] (bzw. [mm]dx_{J})[/mm]
> > und dass ich nicht weiß, wie ich das [mm]\wedge w_{3}[/mm] da
> > einbauen muss.
>  >  
> > Es wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, wie das geht
> > und wo in obiger Rechnung mein Fehler liegt!
>  >  
> > Danke im Voraus!
>  >  
>
>
> Gruss
>  MathePower
>
>  


Bezug
                        
Bezug
Rechnen mit Differentialformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Mi 22.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Casy,

> Hallo und danke erstmal.
>  >  
> > > Seien [mm]w_1, w_2, w_3[/mm] Differentialformen gegeben durch
>  >  >  
> > > [mm]w_1=\summe_{I\in G^{(k)}}a_Idx_I[/mm] , [mm]w_2=\summe_{J\in G^{(l)}}b_Jdx_J[/mm]
> > > , [mm]w_3=\summe_{K\in G^{(m)}}c_Kdx_K[/mm]
>  >  >  
> > > Zeigen Sie durch Nachrechnen:
>  >  >  
> > > 1)  [mm](w_1+w_2)\wedge w_3[/mm] = [mm]w_1\wedge w_3+w_2\wedge w_3[/mm]
>  
> >  >  

> > 2)  
> > > [mm]w_1\wedge (w_2+w_3)[/mm] = [mm]w_1\wedge w_2+w_1\wedge w_3[/mm]
>  >  >

>  3)  
> > > [mm](w_1\wedge w_2)\wedge w_3[/mm] = [mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)[/mm]
>  
> >  >  

> > > Hallo,
>  >  >  
> > > eigentlich müsste ich das ganz einfch nachrechnen
> > > können... aber leider funktioniert das nicht so, wie es
> > > soll; das heißt, ich muss irgendwo Denkfehler drin haben.
>  >  >  
> > > Zunächst die Definition der Multiplikation von
> > > Differentialformen:
>  >  >  
> > > [mm]w_1\wedge w_2=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Meine Ansätze bis jetzt:
>  >  >  
> > > Zu 3):
>  >  >  [mm](w_1\wedge w_2)\wedge w_3=[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J)\wedge w_3=[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_I\wedge dx_J\wedge dx_K=[/mm]
> > > (jetzt vertausche ich, deshalb Vorzeichenwechsel)
>  >  >  
> > > [mm]=-(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_I\wedge dx_K)=[/mm]
> > > (erneute Vertauschung, also nochmal Vorzeichenwechsel)
>  >  >  
> > > [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_K\wedge dx_I=[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]=(w_2\wedge w_3)\wedge w_1=[/mm] (Vetauschung,
> > > Vorzeichenwechsel)
>  >  >  
> > > [mm]=-w_1\wedge (w_2 \wedge w_3)[/mm]
>  >  >  
> > > ...das ist NICHT das, was dastehen sollte, weil ich ein
> > > Minus zuviel habe.... was ist falsch??
>  >  
> >
> > Rechne doch einfach die rechte Seite aus:
>  >  
> > [mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)[/mm]
>  
> dann kommt raus:
>  
> [mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)=\summe_{I\in G{(k)}}\summe_{J\in G{(l)}}\summe_{K\in G{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_I\wedge dx_J\wedge dx_K[/mm]
>  
> Perfekt, das kann ich umklammern zu
>  [mm](\summe_{I\in G{(k)}}\summe_{J\in G{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J)\wedge w_3[/mm]
> und bin fertig!
>  
> Aber warum hat das mit meiner "Vertauschungstechnik" nicht
> funktioniert? Müsste doch eigentlich, oder? Das würde
> mich interessieren.


Nun, weil hier die Reihenfolge  immer dieselbe ist.


>  >  
> >
> > >  

> > > 1) geht vermutlich genauso wie 2), aber da komme ich gar
> > > nicht weiter:
>  >  >  
> > > [mm](w_1+w_2)\wedge w_3=[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}(a_I+b_J)(dx_I+dx_J)\wedge w_3[/mm]
>  
> >  

> >
> > Hier muss doch stehen:
>  >  
> > [mm](\summe_{I\in G^{(k)}}a_I \ dx_I+\summe_{J\in G^{(l)}}b_{J} \ dx_J)\wedge w_3[/mm]
>  
> Sehe ich auch so, aber ich weiß nicht
>  1. wie ich die Summen zusammenfasse. Geht das evtl. so:
>  
> [mm](\summe_{I\in G^{(k)}}a_I[/mm] \ [mm]dx_I+\summe_{J\in G^{(l)}}b_{J}[/mm]
> \ [mm]dx_J)=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}(a_Idx_I+b_Jdx_J)[/mm]
>  
> ?


Ja, das kannst Du so machen.


>  
> Und 2. weiß ich nicht, wie ich [mm]\wedge w_{3}[/mm] da reinhole.
> Möglicherweise so:
>  
> [mm]\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I+b_Jdx_J)c_Kdx_K[/mm]


Hier fehlt das "[mm]\wedge[/mm]":

[mm]\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I+b_Jdx_J) \blue{\wedge}c_Kdx_K[/mm]


>  
> und dann ausrechnen:
>  
> [mm]\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I)(c_Kdx_K)+(b_Jdx_J)(c_Kdx_K)=[/mm]
>


[mm]\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I)\blue{\wedge}(c_Kdx_K)+(b_Jdx_J)\blue{\wedge}(c_Kdx_K)=[/mm]

  

> [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I)(c_Kdx_K)+\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(b_Jdx_J)(c_Kdx_K)=[/mm]
>  


[mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I)\blue{\wedge}(c_Kdx_K)+\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(b_Jdx_J)\blue{\wedge}(c_Kdx_K)=[/mm]

Jetzt die Summen hereinziehen:

[mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}(a_Idx_I)\blue{\wedge}(\summe_{K\in G^{(m)}}c_Kdx_K)+\summe_{J\in G^{(l)}}(b_Jdx_J)\blue{\wedge}(\summe_{K\in G^{(m)}}c_Kdx_K)[/mm]

Dann noch die Definitionen anwenden, und Du bist fertig.


> [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ic_Kdx_I\wedge dx_K+\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}b_Jc_Kdx_J\wedge dx_K[/mm]
>  
> und fertig?


>  Wär super, wenn du das korrigieren oder kommentieren
> könntest!

Gruss
MathePower  

Bezug
                                
Bezug
Rechnen mit Differentialformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:04 Do 23.06.2011
Autor: Casy

Gut, jetzt ist es klar. Die Rechenregeln muss ich mir dann nochmal verinnerlichen.



Vielen Dank für deine Geduld und Hilfe!!

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