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hallo,ich habe erstmal eine frage ob ich diese aufgabe richtig gelöst habe.
Wende die Regel auf die Funktion f(x) = x [mm] \* e^{x} [/mm] an!
Die Rechenregel lautet:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] u(x) [mm] \* [/mm] v´(x) dx = u (x) [mm] \* [/mm] v (x) ] grenzen a bis b - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] u´(x) [mm] \* [/mm] v (x) dx
habe jetzt einfach nur alle bestimmt
u(x) = x
v´(x)= [mm] e^{x}
[/mm]
u(x) = 1
v(X) = [mm] e^{x}
[/mm]
dann einfach alles eingesetzt und damit ist die aufgabe doch erledigt oder?
Dann habe ich eine weiter aufgabe:
das ist das gleich denke ich aber ich komme mit der funktion nicht klar,hoffe mir kann jemand helfen.wenn es geht ausführlich.
Aufgabe 2:
Verfahre wie vorher für f(x) = ( [mm] x^{2} [/mm] - x ) [mm] \* e^{x}
[/mm]
wende die regel mehrmals an!
Gruß Desperado
zuletzt noch eine allgemeine frage hofffe das ich die mal einfach so hier eintragen kann.
Was bedeutet :etwas integrieren?
Gruß Desperado
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Di 15.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Desperado!
> hallo,ich habe erstmal eine frage ob ich diese aufgabe
> richtig gelöst habe.
>
> Wende die Regel auf die Funktion f(x) = x [mm]\* e^{x}[/mm] an!
>
> Die Rechenregel lautet:
>
>
> [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] u(x) [mm]\*[/mm] v´(x) dx = u (x) [mm]\*[/mm] v (x) ]
> grenzen a bis b - [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] u´(x) [mm]\*[/mm] v (x) dx
>
>
> habe jetzt einfach nur alle bestimmt
>
> u(x) = x
> v´(x)= [mm]e^{x}
[/mm]
> u(x) = 1
Du meinst: [mm] $u\,'(x)=1$.
[/mm]
> v(X) = [mm]e^{x}
[/mm]
>
> dann einfach alles eingesetzt und damit ist die aufgabe
> doch erledigt oder?
Ja, das sieht sehr vielversprechend aus  . Du kannst aber trotzdem mal deine komplette Lösung hier angeben, dann gucken wir uns das ganze nochmal an!
> Dann habe ich eine weiter aufgabe:
>
> das ist das gleich denke ich aber ich komme mit der
> funktion nicht klar,hoffe mir kann jemand helfen.wenn es
> geht ausführlich.
>
> Aufgabe 2:
>
> Verfahre wie vorher für f(x) = ( [mm]x^{2}[/mm] - x ) [mm]\* e^{x}
[/mm]
Na, es gilt doch sicherlich:
[m]f(x)=x^2*e^x-x*e^x[/m]. Und nun mußt du doch noch [m]\int_{a}^b x^2*e^x dx[/m] bestimmen (das andere Integral sollte dir bekannt vorkommen  ).
Nun setzt du an: [m]u(x)=x^2, v'(x)=e^x[/m]. Dann ist mit [mm] $v(x)=e^x$ [/mm] eine Stammfunktion von $v'$ gegeben und es gilt $u'(x)=2x$.
Damit ergibt sich mit der Produktregel bzw. partiellen Integration:
[m]\int_a^b x^2*e^x=\left[x^2*e^x\right]_a^b-\int_a^b 2xe^xdx=\left[x^2*e^x\right]_a^b-2\underbrace{\int_a^b xe^xdx}_{=(\star)}[/m]
Na, kommt dir [mm] $(\star)$ [/mm] wieder bekannt vor ?
Alternativ kann man auch so vorgehen:
Setze [mm] $u(x)=x^2-x$ [/mm] und [mm] $v'(x)=e^x$. [/mm] Dann ist mit [mm] $v(x)=e^x$ [/mm] eine Stammfunktion von $v'$ gegeben, $u'(x)=2x-1$ und es gilt weiter:
[m]\int_a^b (x^2-x)*e^x dx=\left[(x^2-x)*e^x\right]_a^b-\int_a^b{(2x-1)e^x dx}
=\left[(x^2-x)*e^x\right]_a^b-\int_a^b{(2x*e^x-e^x) dx}
=\left[(x^2-x)*e^x\right]_a^b-2\underbrace{\int_a^b{x*e^x dx}}_{=(\star)}+\int_a^b{e^x dx}[/m].
Und jetzt verwendest du dein Ergebnis für [mm] $(\star)$ [/mm] aus dem ersten Teil der Aufgabe!
PS: 1.) Rechnest du das ganze jetzt mal zu Ende und teilst uns deine Ergebnisse mit?
2.) Man kann das ganze auch mit [mm] $\int{.}$ [/mm] anstatt [mm] $\int_a^b{.}$ [/mm] rechnen (um z.B. eine Stammfunktion von [mm] $x*e^x$ [/mm] zu finden; mit partieller Integration erhält man dann etwa, dass:
[m]x*e^x-e^x[/m] eine Stammfunktion zu [mm] $x*e^x$ [/mm] ist!). Da du aber die Rechenregel für [mm] $\int_a^b{.}$ [/mm] angegeben hast, habe ich mich auch nur daran orientiert!
Viele Grüße,
Marcel
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Hatte vorher was falsch angegeben... habe aber die vorgehensweise verstanden!
Aufgabe 2
f(x) = ( [mm] x^{2} [/mm] - x ) [mm] \* e^{-x}
[/mm]
so ist die funktion richtig
ausmultipliziert wäre das dann
f(x) = [mm] x^{2} \* e^{-x} [/mm] - x [mm] \* e^{-x}
[/mm]
könntest du mir irgendwie erklären und zeigen wie die stammfunktion von [mm] e^{-x} [/mm] sagen?..damit komme ich nicht klar
ich weiß das die ableitung der e funktion sie selbst ist aber wie ist das mit negativenm exponenten also -x in dem fall!
Gruß Desperado
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Di 15.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Desperado!
> Hatte vorher was falsch angegeben... habe aber die
> vorgehensweise verstanden!
> Aufgabe 2
>
> f(x) = ( [mm]x^{2}[/mm] - x ) [mm]\* e^{-x}
[/mm]
>
>
> so ist die funktion richtig
>
> ausmultipliziert wäre das dann
>
> f(x) = [mm]x^{2} \* e^{-x}[/mm] - x [mm]\* e^{-x}
[/mm]
>
>
> könntest du mir irgendwie erklären und zeigen wie die
> stammfunktion von [mm]e^{-x}[/mm] sagen?..damit komme ich nicht
> klar
Ja, das ist kein Problem. Kennst du die Regel:
[mm] $(\star_1)$ $\int [/mm] u'(v(x))*v'(x) dx=u(v(x))$?
Diese wendest du dann z.B. so an:
[mm] $\int e^{-x} dx=\int -(-e^{-x}) dx=-\int (-1*e^{-x}) [/mm] dx$.
Setze nun [mm] u(x)=e^x [/mm] und und $v'(x)=-1$. Dann ist mit $v(x)=-x$ eine Stammfunktion zu $v'$ gegeben, und es gilt:
1.) [mm] $u'(x)=e^x$ [/mm] und daher auch
2.) [mm] $u'(v(x))=e^{v(x)}=e^{-x}$.
[/mm]
Das liefert:
[mm]-\int (-1*e^{-x}) dx=-\int (e^{-x}*(-1)) dx=- \int (\underbrace{e^{-x}}_{=u'(v(x));\;wegen\;2.)}*\underbrace{(-1)}_{=v'(x)}) dx \stackrel{(\star_1)}{=}-\,u(v(x))=-\,e^{v(x)}=-\,e^{-x}[/mm]
Zur Kontrolle:
Leite einfach mal die Funktion [mm] $F(x):=-e^{-x}$ [/mm] mithilfe der  Kettenregel ab!
Ich nehme an, dass du nun alleine klar kommst, oder? Ggf. meldest du dich einfach wieder!
PS: Alternativ kannst du dir das auch so überlegen:
[mm] $g(x):=e^{-x}$ [/mm] liefert (Kettenregel):
[mm] $g'(x)=-\,e^{-x}$
[/mm]
[mm] $g''(x)=e^{-x}$
[/mm]
[mm] $g^{(3)}(x)=-\,e^{-x}$
[/mm]
[mm] $g^{(4)}(x)=e^{-x}$
[/mm]
.
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Durch Hingucken erkennst du daran sofort (anhand der ersten/zweiten Ableitung; den Rest habe ich nur einfach so mal hingeschrieben ), dass [mm] $-\,e^{-x}$ [/mm] eine Stammfunktion zu [mm] $e^{-x}$ [/mm] ist .
Bemerkung: Hierbei bezeichnet [mm] $g^{(n)}(x)$ [/mm] ist die $n$-te Ableitung von $g(x)$ ($n [mm] \in \IN_{\,0}$).
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Di 15.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Desperado!
Zur Kontrolle für dein erstes Integral:
[m]\int_a^b x*e^x dx=\underbrace{(b*e^b-a*e^a)}_{=\left[x*e^x\right]_a^b}-\underbrace{(e^b-e^a)}_{=\int_a^b e^x dx}=b*e^b-a*e^a-e^b+e^a=e^b*(b-1)+e^a*(1-a)[/m]
Viele Grüße,
Marcel
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