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| Aufgabe | Sei K ein Körper. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für die (formale) Differentiation in K[x] (f und g sind hierbei in K[x]. [mm] \lambda, \mu \in [/mm] K, n [mm] \in \IN^+
[/mm]
1. [mm] (\lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] g)' = [mm] \lambda [/mm] f ' + [mm] \mu [/mm] g'
2. (fg)' = f'g + fg'
3. [mm] (f^n)' [/mm] = [mm] nf^{n-1} [/mm] f'
Teil 2. Sei a [mm] \el [/mm] K eine Nullstelle von f [mm] \in [/mm] K[x]. Zeigen Sie, dass x-a dann ein Teiler von f ist. |
Kann mir vielleicht jemand bei diesen Aufgaben helfen, weiß überhaupt nicht, wie ich anfangen soll, sprich wie ich das zeigen soll.
Danke im Voraus.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Sa 05.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
man fängt immer an, indem man die Definitionen der verwendeten Begriffe noch einmal gründlich liest 
In 1+2 also den Differenzenquotienten.
3 sieht nach einer vollständigen Induktion aus. Damit könntest du die Potenzregel beweisen, dann die Kettenregel und zusammen folgt dann die Aussage.
In Teil 2 schreibe f(x) = q(x) * (x-a) + r (Warum gibt es immer ein q(x), so daß f(x) so geschrieben werden kann?)
Dann nutze aus, daß a eine Nullstelle von f ist.
Gruß
Will
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Hi, danke erstmal für die Antwort, aber ich glaub, ganz so einfach ist das doch nicht. Wie du es beschrieben hast, geht das ja eher in Richtung Differentialrechnung, aber wir machen das gerade in AGLA.
Es soll irgendwie mit dieser Formel gezeigt werden.
f'= [mm] \summe_{k=1}^{m}*k*a_k*x^{k-1}.
[/mm]
aber wie das gehen soll, keine ahnung.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Sa 05.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> geht das ja eher in Richtung Differentialrechnung, aber wir
> machen das gerade in AGLA.
was ist AGLA?
> Es soll irgendwie mit dieser Formel gezeigt werden.
>
> f'= [mm]\summe_{k=1}^{m}*k*a_k*x^{k-1}.[/mm]
das ist die Potenzregel zum Ableiten.
Gruß
Will
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AGLA = Analytische Geometrie und Lineare Algebra
Ja mit der Formel sollen wir das irgendwie machen.
weiß aber irgendwie nicht wie, das ist das problem.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 So 06.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
wenn hier mit K[x] der Polynomring über dem Körper K gemeint ist, dann kannst du die Regeln ja auch einfach durch Einsetzen beweisen. Schreibe einfach 2 allgemeine Polynome auf:
$a(x) = [mm] \sum_{i=0}^m a_i x^i$ [/mm] und $b(x) = [mm] \sum_{i=0}^n b_i x^i$
[/mm]
Dann einsetzen in die zu beweisenden Formeln und die Ableitung mit deiner Potenzregel durchführen.
Gruß
Will
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Hi, die erste habe ich jetzt hinbekommen, aber bei den anderen habe ich noch probleme. weil bei der 2. und der 3. ist es ja auch noch eine verkettung.
und teil 2) kriege ich auch irgendwie noch nicht hin.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Mo 07.01.2008 | | Autor: | cutter |
Hi
ich schick dir hier mal einen Beweis fuer 2.
http://www.integralgott.de/diffr/dregelprod.htm
Hier wurde einfach nur der Differenzialquotient angewandt, erweitert und umgeformt.
Ich hoffe du kennst diese Darstellung des Diffquotienten.
Grüße
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Hi, ja diese darstellung kenne ich auch.
aber meinst du in der linearen algebra kann man das auch so beweisen? weil ich dachte, man kann alle mit dieser potzenregel da beweisen, so hatte ich es verstanden, vielleicht war es ja auch falsch.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:15 Mo 07.01.2008 | | Autor: | cutter |
Ich sehs auch gerade.
Ist schon aehnlich aber wohl ein Spezialfall.
Vielleicht sollest du das doch eher direkt beweisen. Nicht das ich dir was falsches sage :)
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Hi.
Irgendwie komm ich mit der zeiten Herleitung immer noch nicht zurecht. ich weiß nicht, wie ich da ein plus reinbekomme.
ich habe es so angefangen:
[mm] ((\sum_{i=0}^m a_i x^i)*(\sum_{i=0}^n b_i x^i) [/mm] )'= [mm] (\sum_{i=0}^n (a_i b_i)x^i)' [/mm] = [mm] (\sum_{i=1}^n i(a_i b_i)x^{i-1})
[/mm]
so weiter komme ich irgendwie nicht, und weiß auch nicht, wie ich da ein plus reinbasteln kann.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Di 08.01.2008 | | Autor: | koepper |
> Hi.
>
> Irgendwie komm ich mit der zeiten Herleitung immer noch
> nicht zurecht. ich weiß nicht, wie ich da ein plus
> reinbekomme.
> ich habe es so angefangen:
>
> [mm]((\sum_{i=0}^m a_i x^i)*(\sum_{i=0}^n b_i x^i)[/mm] )'=
> [mm](\sum_{i=0}^n (a_i b_i)x^i)'[/mm] = [mm](\sum_{i=1}^n i(a_i b_i)x^{i-1})[/mm]
das stimmt auch so nicht. Mach dir einfach mal ein Beispiel mit kleinen Polynomen und multipliziere die Summe aus.
Dann siehst du, daß das so nicht geht.
Gruß
Will
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hmm, aber wie macht man es denn sonst???
bei der ersten habe ich es auch so ählich gemacht, da hats geklappt 
wüsste jetzt nicht, wie ich es sonst machen sollte.
vielleicht kannste mir ja helfen?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Di 08.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
wie ich schon sagte... mach dir ein kleines Beispiel.
Gruß
Will
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meinst du sowas?
sei [mm] g=x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] und [mm] f=x^5 [/mm] + x
so dann dann g*f = [mm] (x^3 [/mm] + [mm] x^2)*(x^5 [/mm] + x) = [mm] (x^8 [/mm] + [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^7 [/mm] + [mm] x^3)
[/mm]
so aber viel schlauer werde ich aus diesem beispiel auch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
was hälst Du von dieser Rechnung:
[mm] $\left(\sum_{i=0}^m a_i x^i\right)*\left(\sum_{i=0}^n b_i x^i\right)=\sum_{i=0}^m \left(a_i x^i *\sum_{k=0}^n b_k x^k\right)=\sum_{i=0}^m \left(\sum_{k=0}^n (a_i b_k) x^{k+i}\right)$
[/mm]
Schau Dir das mal an, nimm ruhig Dein Beispiel und guck', was Deine Formel "ausspucken" würde und was das hier "ausspucken" würde, wenn g und f wie in Deinem letzten Post
(Wobei Du vielleicht auch mal besser sowas wie [mm] $g(x)=2x^3+3x^2$ [/mm] und [mm] $f(x)=4x^5+7x$ [/mm] nehmen würdest, damit die [mm] $a_k, b_k$ [/mm] nicht ganz so banal wie in Deinem Beispiel .)
Und wie gesagt:
Ausschreiben kann manchmal helfen, zu testen, ob man richtig mit dem Summenzeichen gerechnet hat (gerade anfangs, wenn man noch nicht so geübt im Umgang mit dem Summenzeichen ist!):
[mm] $\left(\sum_{i=0}^m a_i x^i\right)*\left(\sum_{i=0}^n b_i x^i\right)=(a_0 +a_1 [/mm] x+ [mm] a_2 x^2 [/mm] + ... + [mm] a_m x^m)*(b_0 [/mm] + [mm] b_1 [/mm] x + [mm] b_2 x^2 [/mm] + ... [mm] +b_n x^n)=...$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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ja gut.
[mm] g(x)=2x^3+3x^2 [/mm] und [mm] f(x)=4x^5+7x
[/mm]
g(x)*f(x) = [mm] (2x^3+3x^2)*(4x^5+7x) [/mm] = [mm] 8x^8 [/mm] + [mm] 14x^4 [/mm] + [mm] 12x^7 [/mm] + [mm] 21x^3
[/mm]
Die Exponenten werden ja addiert, das muss ja wohl jetzt richtig sein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> ja gut.
>
> [mm]g(x)=2x^3+3x^2[/mm] und [mm]f(x)=4x^5+7x[/mm]
>
> g(x)*f(x) = [mm](2x^3+3x^2)*(4x^5+7x)[/mm] = [mm]8x^8[/mm] + [mm]14x^4[/mm] + [mm]12x^7[/mm] +
> [mm]21x^3[/mm]
>
> Die Exponenten werden ja addiert, das muss ja wohl jetzt
> richtig sein
naja, wenn ich mal bei meiner Formel bleibe, würde ich das mal so schreiben:
[mm] $(3x^2+2x^3)*(7x+4x^5)=3x^2*(7x+4x^5)+2x^3*(7x+4x^5)$
[/mm]
[mm] $=(3*7)x^{1+2}+(3*4)x^{5+2}+(2*7)x^{1+3}+(2*4)x^{5+3}$
[/mm]
Das passt zu meiner Formel
(Ganz genau würdest Du das mit $m=3$, $n=5$, [mm] $a_0=a_1=0$, $a_2=3$, $a_3=2$; $b_0=b_2=b_3=b_4=0$, $b_1=7$, $b_5=4$ [/mm] sehen!)
Gruß,
Marcel
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ja aber ich weiß irgendwie immer noch nicht, wie ich das jetzt auf meine aufgabe übertragen soll, wo ich die ableitungen bestimmen soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
ich bin ja eigentlich sowieso der Ansicht, dass Du die Regeln allgemein beweisen solltest. Aber Du wolltest anscheinend ja die Produktregel mal speziell für Polynomfunktionen herleiten. Wenn Du dann das Produkt zu
$ [mm] \left(\sum_{i=0}^m a_i x^i\right)\cdot{}\left(\sum_{i=0}^n b_i x^i\right)=\sum_{i=0}^m \left(a_i x^i \cdot{}\sum_{k=0}^n b_k x^k\right)=\sum_{i=0}^m \left(\sum_{k=0}^n (a_i b_k) x^{k+i}\right) [/mm] $
berechnet hast, kannst Du ja benutzen, dass
$x [mm] \mapsto x^n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN_0$) [/mm] die Ableitung $x [mm] \mapsto n*x^{n-1}$ [/mm] hat und danach dann Regel (1).
Und rumrechnen und umformen, bis das Gewünschte da steht.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Hi.
>
> Irgendwie komm ich mit der zeiten Herleitung immer noch
> nicht zurecht. ich weiß nicht, wie ich da ein plus
> reinbekomme.
> ich habe es so angefangen:
>
> [mm]((\sum_{i=0}^m a_i x^i)*(\sum_{i=0}^n b_i x^i)[/mm] )'=
> [mm](\sum_{i=0}^n (a_i b_i)x^i)'[/mm] = [mm](\sum_{i=1}^n i(a_i b_i)x^{i-1})[/mm]
Hallo,
was rechnest Du denn hier? Seit wann gilt denn:
[mm] $(\sum_{i=0}^m a_i x^i)*(\sum_{i=0}^n b_i x^i)=\sum_{i=0}^n (a_i b_i)x^i$???
[/mm]
Ich meine, es gilt ja schon:
[mm] $(\sum_{i=0}^1 (i+1)*x^i)*(\sum_{i=0}^1 (i+1)*x^i)=(1+2x)^2 \not= \sum_{i=0}^1 [/mm] (i+1)(i+1) [mm] x^i$, [/mm] denn
- linkerhand vom [mm] $\not=$-Zeichen [/mm] steht ausgerechnet: [mm] $1+4x+4x^2$, [/mm] und
- rechterhand vom [mm] $\not=$-Zeichen [/mm] steht ausgerechnet: $1+4x$
Also bitte, keine neuen Rechengesetze erfinden ^^
Ich meine, gegebenenfalls machst Du Dir klar, dass Deine Rechnung Unsinn ist, wenn Du mal ausschreibst:
[mm] $(\sum_{i=0}^m a_i x^i)*(\sum_{i=0}^n b_i x^i)=(a_0 +a_1 x+a_2 x^2+...+a_mx^m)*(b_0+b_1 x+b_2 x^2 [/mm] + ... [mm] +b_n x^n)$
[/mm]
und das würdest Du ja auch nicht so ausrechnen, wie Du es getan hast (hoffe ich mal)
Gruß,
Marcel
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