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| Aufgabe | Es seien $A,B,C [mm] \in$ \IR^{n×n} [/mm] Matrizen. Zeigen Sie:
a) A · (B + C) = A · B + A · C
b) (A · [mm] B)^T [/mm] = [mm] (B^T [/mm] · [mm] A^T) [/mm] |
Hallo,
also ich habe a) folgendermaßen gelöst und möchte nun gerne wissen, ob das richtig so ist:
A = [mm] a_{ki}, [/mm] B = [mm] b_{ij}, [/mm] C = [mm] c_{ij}
[/mm]
A · [mm] (b_{ij} [/mm] + [mm] c_{ij})
[/mm]
[mm] d_{kj} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ki} [/mm] · [mm] (b_{ij} [/mm] + [mm] c_{ij})
[/mm]
[mm] d_{kj} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ki} [/mm] · [mm] b_{ij} [/mm] + [mm] a_{ki} [/mm] · [mm] c_{ij}
[/mm]
[mm] d_{kj} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ki} [/mm] · [mm] b_{ij} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ki} [/mm] · [mm] c_{ij}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A · B + A · C
[mm] \Box
[/mm]
Bei b) bin ich mir nicht ganz so sicher, wie ich da rangehen soll. Ich habe mir bereits folgendes überlegt:
[mm] C_{kj} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ki} [/mm] · [mm] b_{ij}
[/mm]
[mm] C_{kj} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ji} [/mm] · [mm] b_{jk}
[/mm]
[mm] C_{ki} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} b_{ik} [/mm] · [mm] a_{ji}
[/mm]
Also wie man sieht habe ich da kaum einen Plan und wäre für einen Tipp dankbar.^^
Thx schonmal für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 So 19.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Es seien [mm]A,B,C \in[/mm] [mm]\IR^{n×n}[/mm] Matrizen. Zeigen Sie:
> a) A · (B + C) = A · B + A · C
> b) (A · [mm]B)^T[/mm] = [mm](B^T[/mm] · [mm]A^T)[/mm]
> Hallo,
> also ich habe a) folgendermaßen gelöst und möchte nun
> gerne wissen, ob das richtig so ist:
>
> A = [mm]a_{ki},[/mm] B = [mm]b_{ij},[/mm] C = [mm]c_{ij}[/mm]
>
> A · [mm](b_{ij}[/mm] + [mm]c_{ij})[/mm]
>
> [mm]d_{kj}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{ki}[/mm] · [mm](b_{ij}[/mm] + [mm]c_{ij})[/mm]
>
> [mm]d_{kj}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{ki}[/mm] · [mm]b_{ij}[/mm] + [mm]a_{ki}[/mm] ·
> [mm]c_{ij}[/mm]
>
> [mm]d_{kj}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{ki}[/mm] · [mm]b_{ij}[/mm] +
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{ki}[/mm] · [mm]c_{ij}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A · B + A · C
> [mm]\Box[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei b) bin ich mir nicht ganz so sicher, wie ich da
> rangehen soll. Ich habe mir bereits folgendes überlegt:
>
> [mm]C_{kj}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{ki}[/mm] · [mm]b_{ij}[/mm]
>
> [mm]C_{kj}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{ji}[/mm] · [mm]b_{jk}[/mm]
>
>
> [mm]C_{ki}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} b_{ik}[/mm] · [mm]a_{ji}[/mm]
Ich schreibe [mm] $a_{ij}^t, b_{ij}^t$ [/mm] für die Komponenten der transponierten Matrix (also nicht die Komponenten transponiert!). Damit gilt [mm] $a_{ij}^t=a_{ji}, b_{ij}^t=b_{ji}$.
[/mm]
[mm] $(B^T \cdot A^T)_{ij} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^n b_{ik}^t \cdot a_{kj}^t [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^n b_{ki} \cdot a_{jk} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^n a_{jk} \cdot b_{ki} [/mm] = (A [mm] \cdot B)_{ji} [/mm] = (A [mm] \cdot B)_{ij}^T$
[/mm]
LG Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 So 19.06.2011 | | Autor: | WhiteKalia |
Ah okay. Ich hatte in der Zwischenzeit ja auch nochmal Zeit drüber nachzudenken und da habe ich auch zumindest den Ansatz davon hinbekommen.^^
Vielen lieben Dank dir. :)
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