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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:55 Di 16.10.2012 | | Autor: | BJJ |
| Aufgabe | Der Erwartungswert einer multivariaten Normalverteilung lässt sich als Integral ausdrücken:
[mm] \mu [/mm] = [mm] \int_{E} [/mm] x N(x; [mm] \mu, \Sigma) [/mm] dx
Es seien U und V messbare Teilmengen von E, die disjunkt sind und deren Vereinigung wieder E ergibt. Dann gilt:
[mm] \int_{E} [/mm] x N(x; [mm] \mu, \Sigma) [/mm] dx = [mm] \int_{U} [/mm] x N(x; [mm] \mu, \Sigma) [/mm] dx + [mm] \int_{V} [/mm] x N(x; [mm] \mu, \Sigma) [/mm] dx
Man kann [mm] \int_{U} [/mm] N(x; [mm] \mu, \Sigma) [/mm] dx als Wahrscheinlichkeit interpretieren, dass x in U ist. Wie kann man aber den Vektor
[mm] \int_{U} [/mm] x N(x; [mm] \mu, \Sigma) [/mm] dx
interpretieren? |
Lösungsansatz:
Mein Problem ist, dass [mm] \int_{U} [/mm] x N(x; [mm] \mu, \Sigma)dx [/mm] kein Erwartungswert der Normalverteilung in U zu sein scheint, weil N(x; [mm] \mu, \Sigma) [/mm] über U keine Verteilung mehr ist. Ich könnte allerdings N(x; [mm] \mu, \Sigma) [/mm] über U durch einen Faktor der Form
a = [mm] \int_{U} [/mm] N(x; [mm] \mu, \Sigma) [/mm] dx
zu einer Verteilung skalieren. Ich hätte dann den Erwartungswert
c = 1/a [mm] \cdot \int_{U} [/mm] x N(x; [mm] \mu, \Sigma)dx
[/mm]
der skalierten Verteilung über U. Dann ist
[mm] a\cdot [/mm] c = [mm] \int_{U} [/mm] N(x; [mm] \mu, \Sigma) [/mm] dx
meine gesuchte Interpretation. In Worten: [mm] \int_{U} [/mm] N(x; [mm] \mu, \Sigma) [/mm] dx ist der um die Wahrscheinlichkeit 1/a skalierte Erwartungswert der skalierten Normalverteilung in U. Kann man das so sehen?
Danke für Eure Aufmerksamkeit und beste Grüße
bjj
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 24.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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