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| Aufgabe | | Sei X ein ZG auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,\mathcal{A},P). [/mm] Weiter seinen T(X) und h(T(X)) belibiege Statistiken. |
Hallo zusammen,
unter welcher Bedingung gilt E(h(T(X)|T(X))=h(T(X)) [MAthematische Statistik, czado u. schmidt, S. 111, Berkung 4.8] Per Definition sind die Funktionen doch auf der von T(X) erzeugten Sub-sigma-Algebra von [mm] \mathcal{A} [/mm] gleich, aber nicht generell.
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Hallo,
> Sei X ein ZG auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
> [mm](\Omega,\mathcal{A},P).[/mm] Weiter seinen T(X) und h(T(X))
> belibiege Statistiken.
> unter welcher Bedingung gilt E(h(T(X)|T(X))=h(T(X))
Das gilt immer!
Denn h(T(X)) ist eine messbare Funktion von T(X).
(siehe ![[]](/images/popup.gif) hier, "herausziehen bekannter Faktoren".
> [MAthematische Statistik, czado u. schmidt, S. 111, Berkung
> 4.8] Per Definition sind die Funktionen doch auf der von
> T(X) erzeugten Sub-sigma-Algebra von [mm]\mathcal{A}[/mm] gleich,
> aber nicht generell.
Was meinst du damit? Welche Funktionen sind auf [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] gleich?
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
> Das gilt immer!
> Denn h(T(X)) ist eine messbare Funktion von T(X).
> "herausziehen bekannter Faktoren".
Stimmt, aber so richtig sehe ich das noch nicht. Per Definition gilt:
[mm] \int_{B}E(h(T(X))|\mathcal{B})dP=\int_{B}h(T(X))dP, [/mm] für alle [mm] B\in \mathcal{B}=\sigma(T(X)). [/mm] Dann folgt die [mm] h(T(X))=E(h(T(X))|\mathcal{B}) [/mm] f.s. auf [mm] (\Omega,\mathcal{B},P).
[/mm]
> Was meinst du damit? Welche Funktionen sind auf [mm]\mathcal{A}[/mm]
> gleich?
Das die Funktionen nicht gleich sind auf [mm] (\Omega,\mathcal{A},P). [/mm]
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Hallo,
> Hallo Stefan,
>
> > Das gilt immer!
> > Denn h(T(X)) ist eine messbare Funktion von T(X).
> > "herausziehen bekannter Faktoren".
> Stimmt, aber so richtig sehe ich das noch nicht. Per
> Definition gilt:
> [mm]\int_{B}E(h(T(X))|\mathcal{B})dP=\int_{B}h(T(X))dP,[/mm] für
> alle [mm]B\in \mathcal{B}=\sigma(T(X)).[/mm] Dann folgt die
> [mm]h(T(X))=E(h(T(X))|\mathcal{B})[/mm] f.s. auf
> [mm](\Omega,\mathcal{B},P).[/mm]
Lass' uns das mal etwas reduzieren (für weniger Schreibarbeit): Wir wollen zeigen: $E[h(T)|T] = h(T)$ mit einer Statistik T und einer messbaren Funktion h.
Dazu musst du nachrechnen, dass $Z = h(T)$ die Eigenschaft des bedingten Erwartungswerts $E[h(T)|T]$ erfüllt, also:
[mm] $\int_{B} [/mm] h(T) dP = [mm] \int_{B} [/mm] Z dP$ für alle $B [mm] \in \sigma(T)$.
[/mm]
Siehst du, warum die Aussage trivial ist? Es steht auf beiden Seiten der Gleichung einfach dasselbe (wegen $Z = h(T)$).
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Do 14.03.2013 | | Autor: | Reduktion |
Danke! Jetzt seh ich es.
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