"Rechenregel" bei Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Di 23.10.2007 | | Autor: | heat |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass die Aussage
P = P [mm] \cap [/mm] Q [mm] \gdw [/mm] Q = P [mm] \cup [/mm] Q
für gegebene Mengen P und Q gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Lösung ist:
Q = P [mm] \cup [/mm] Q | Aussage 1 ( P = P [mm] \cap [/mm] Q) einsetzen
Q = (P [mm] \cap [/mm] Q) [mm] \cup [/mm] Q | \ Q
Q \ Q = ((P \ Q) [mm] \cap [/mm] (Q \ Q)) [mm] \cup [/mm] (Q \ Q)
[mm] \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset \cup \emptyset [/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Meine Frage ist nun: Stimmt der Beweis? Kann ich zur Lösung so einer Gleichung einfach auf beiden Seiten des "=" B abziehen (bzw \ B hinzufügen)?
Grüße,
heat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Di 23.10.2007 | | Autor: | jno |
Hi!
Um [mm] $A\gdwB$ [/mm] zu zeigen, musst du normal 2 Schritte durchführen, nämlich [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ und [mm] $A\Leftarrow [/mm] B$.
< Q = P [mm]\cup[/mm] Q | Aussage 1 ( P = P [mm]\cap[/mm] Q) einsetzen
< Q = (P [mm]\cap[/mm] Q) [mm]\cup[/mm] Q | \ Q
Hier machst du das allerdings nicht, es soll [mm] $P=P\cap [/mm] Q [mm] \gdw [/mm] Q = P [mm] \cup [/mm] Q$ bewiesen werden, und du nimmst im 1. Schritt den rechten Teil an und im 2. Schritt aber auch direkt den linken. Ich würde zunächst nur den linken Teil $P = P [mm] \cap [/mm] Q$ als gegeben sehen. Du weisst also, dass [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] P: [mm] x\in [/mm] P [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] Q$. Daraus folgt dann unmittelbar, dass [mm] $P\subseteq [/mm] Q$ und damit
$Q=P [mm] \cup [/mm] Q$. Genauso würde ich mit der anderen Richtung verfahren.
Jens
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