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| Aufgabe 1 | | (i) Es sei [mm] :=Re(z\overline{w}). [/mm] Bestimmen Sie alle w [mm] \in \IC [/mm] mit <z,wz>=0 für alle z [mm] \in \IC [/mm] |
| Aufgabe 2 | | (ii) Es sei [mm] [z,w]:=Im(z\overline{w}). [/mm] Finde zu z [mm] \not= [/mm] 0 ein w [mm] \in \IC [/mm] mit [z,w]=1 |
Guten Abend zusammen,
ich habe versucht die obigen Aufgaben zu lösen, hänge jedoch vor allem bei Aufgabe 2 fest.
Zu Aufgabe 1:
Hier habe ich zuerst [mm] =Re(z\overline{wz}) [/mm] entknobelt:
z=x+iy
w=a+ib
[mm] z\overline{wz} [/mm] =(x+iy)*(a-ib)*(x-iy)= [mm] (x^{2}+y^{2})*(a-ib)=ax^{2}-ibx^{2}+ay^{2}-iby^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z\overline{wz}=ax^{2}+ay^{2}
[/mm]
Betrachte: [mm] ax^{2}+ay^{2}=0
[/mm]
Dabei ist a der Realteil von w, heißt dann die Lösung der Aufgabe, dass Re(w)=0 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC [/mm] ? Ist damit die Aufgabe fertig?
Zu Aufgabe 2:
Hier habe ich auch versucht, das ganze zu entknobeln:
z=x+iy
w=a+ib
[mm] [z,w]:=Im(z\overline{w})
[/mm]
[mm] z\overline{w}=xa+i(-xb+ya)+yb
[/mm]
[mm] \Rightarrow Im(z\overline{w})= [/mm] -xb+ya
Betrachte: -xb+ya=1
An dieser Stelle komme ich überhaupt nicht weiter. Muss ich ein w finden für alle z [mm] \not= [/mm] 0 oder kann ich z auch wählen? Wenn ja kann ich dann einfach mir irgendwelche komplexe Zahlen ausdenken, die die Gleichung erfüllen?
Wenn nein, wie gehe dann weiter vor?
Es wäre cool, wenn ihr mir helfen könntet!
Beste Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:53 Mo 18.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1 ist richtig.
zu 2. wenn da nur steht zu [mm] z\ne0 [/mm] und nicht wie in 1 für alle z kannst du ja einfach a und b in abhängigkeit von z bzw x,y angeben,
wenn du das für alle nur in der aufgabe vergessen hast: nimm 3 willkürliche z eta 1+i, 1-1 2+3i
und stelle fest dass es wenn man a,b für 2 z richtig macht es für andere nicht mehr geht, also nur w=0.
gruss leduart
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Alles klar, ich danke dir! In der Aufgabe steht nicht für alle z, sondern nur für z [mm] \not= [/mm] 0.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:15 Mo 18.04.2011 | | Autor: | MathePower |
Hallo leduart,
> Hallo
> 1 ist richtig.
> zu 2. wenn da nur steht zu [mm]z\ne0[/mm] und nicht wie in 1 für
> alle z kannst du ja einfach a und b in abhängigkeit von z
> bzw x,y angeben,
> wenn du das für alle nur in der aufgabe vergessen hast:
> nimm 3 willkürliche z eta 1+i, 1-1 2+3i
> und stelle fest dass es wenn man a,b für 2 z richtig
> macht es für andere nicht mehr geht, also nur w=0.
w=0 ist keine Lösung von [mm]a*y-b*x=1[/mm]
> gruss leduart
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 Di 19.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Es geht etwas einfacher. Ich zeigs Dir mal bei Aufgabe 1:
Sei $w [mm] \in \IC [/mm] $ mit $<z,wz>=0$ für alle $z [mm] \in \IC [/mm] $. Dann gilt: $<1,w>=0$. Das bedeutet aber gerade, dass Re(w)=0 ist.
Ist umgekehrt Re(w)=0, so ist w von der Form w=it mit t [mm] \in \IR. [/mm] Für z [mm] \in \IC [/mm] ist dann
$<z,itz>= Re(-|z|^2it)=0.$
FRED
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