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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Mo 22.05.2006 | | Autor: | berkes |
| Aufgabe | Sei [mm] $l^2 [/mm] := [mm] \{ f \in \mathbb{R}^\mathbb{N}: \sum\limits_{i=1}^{\infty} f(i)^2 < \infty\}$ [/mm] der Raum der quadratsummierbaren Folgen mit dem Skalarprodukt:
[mm] $\langle [/mm] a,b [mm] \rangle [/mm] := [mm] \sum\limits_{i=1}^{\infty} [/mm] a(i)b(i) $
und sei [mm] $\mathcal{E} [/mm] := [mm] \{ e_i : i\in \mathbb{N} \}$ [/mm] definiert durch [mm] $e_i(j) [/mm] = [mm] \delta_{i,j}$ ($\mathcal{E}$ [/mm] ist topologische Orthonormalbasis, jedoch keine Basis)
Zeigen Sie: [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] kann nicht zu einer Orthonormalbasis von [mm] $l^2$ [/mm] fortgesetzt werden, das heisst, es existiert keine Orthonormalbasis von [mm] $l^2$, [/mm] die [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] als Teilfamilie enthaelt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich dachte mir, ich nehme mir eine Orthonormalbasis, die [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] enthaelt und fuehre das auf einen Widerspruch.
Weil [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] eine topologische ONB ist, muss ja gelten:
fuer [mm] $v\in l^2$ [/mm] gilt $ [mm] v=\sum\limits_{j=1}^{\infty} \langle v,e_j \rangle e_j [/mm] $
Laut Wikipedia (Orthonormalbasis, allgemeiner Fall) waere das dann schon eine ONB von [mm] $l^2$ [/mm] ? Ich bin verwirrt. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Mo 22.05.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo berkes,
ich denke, bevor wir jetzt hier losdiskutieren, muss eine frage geklärt werden:
wie definiert ihr (bzw. dein prof) eine topologische orthonormalbasis?!?
bemerkenswert ist, dass google bei eingabe dieses suchbegriffs (bei wörtlicher suche) keinen(!) Treffer findet, was mich etwas an diesem begriff zweifeln lässt.
ganz abgesehen davon, kommt es mir spanisch vor, wie man auf topologischer ebene so etwas wie orthogonalität definieren will.
aber vielleicht gibt es ja dafür eine ganz logische erklärung.... 
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Mo 22.05.2006 | | Autor: | berkes |
Wir hatten das ueber die Besselsche Ungleichung definiert, die da lautet:
[mm] $\Vert [/mm] v [mm] \Vert^2 \geq \sum\limits_{j=1}^{\infty} \vert \langle v,u_j \rangle \vert^2$
[/mm]
Fuer ein abzaehlbares unendliches ONS [mm] $\mathcal{U} [/mm] = [mm] (u_1,u_2,\ldots)$ [/mm] in einem Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt und [mm] $v\in [/mm] V$
Wenn in der Ungleichung Gleichheit fuer jedes [mm] $v\in [/mm] V$ Gleichheit gilt, kann man schreiben: $v = [mm] \sum\limits_{j=1}^{\infty} \langle v,u_j \rangle u_j$ [/mm] und man nennt [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] topologische Orthonormalbasis bzw vollstaendiges Orthonormalsystem.
(vielleicht sagt dir dieser Begriff ja mehr)
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ich habe das gefühl, dass hier in erster linie eine begriffsverwirrung vorliegt. Was dein prof topologische Orthonormalbasis nennt, wird gemeinhin 'Orthonormalbasis' genannt. Bleibt also die frage was er unter einer Orthonormalbasis (ohne das 'topologisch') versteht.... vielleicht ein erzeugendensystem, aus dem nur endliche linearkombinationen gebildet werden dürfen?!?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Di 23.05.2006 | | Autor: | berkes |
Ja genau, du hast Recht. Wobei die Vektoren aus dem Erzeugendensystem alle orthogonal zueinander sein muessen.
Ich hab jetzt auch nochmal drueber nachgedacht und mir ist auch schon eine Idee zur Aufgabe gekommen.
Man koennte sich ja eine Folge vorgeben, die nicht durch endlich viele Vektoren aus [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] darstellbar ist, also muss man ja noch Vektoren zu [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] hinzunehmen, damit die Folge als endliche Linearkombination darstellbar wird. Dann bleibt ja nur noch zu zeigen, dass diese Ergaenzung nicht orthogonal zu den Vektoren aus [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] ist.
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Di 23.05.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Das könnte es sein, ja. Zeige mittels eines Beispiels, das $ [mm] \mathcal{E}$ [/mm] keine ONB in diesem Sinne ist, zB. [mm] $a_i=\frac1{i}$. [/mm] Außerdem kann man leicht zeigen, dass es keine weitere nichttriviale folge geben kann, die orthogonal zu allen vektoren in [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] ist.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Di 23.05.2006 | | Autor: | berkes |
ja genau, so hab ich das jetzt auch aufgeschrieben.
nochmals danke und viele gruesse
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