Raum der stetigen Funktionen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Mi 30.10.2013 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Geg. sei $B=( C(I), || [mm] .||_{\infty} [/mm] )$ der Raum der stetigen Funktionen auf dem abg. Intervall $I= [a,b].$
Das lineare Funktional [mm] $\delta_x$ [/mm] auf $B$ sei gegeben durch [mm] $\delta_x(f) [/mm] = f(x) $
Man zeige: [mm] $\delta_x [/mm] $ liegt im Dualraum von $B$, also [mm] $\delta_x \in [/mm] B'$ und berechne die Norm [mm] $||\delta_x ||_{B'}.$ [/mm] |
Da die Angabe für mich leider zu abstrakt ist, bitte ich einen von euch mir aufzuschreiben, was ich formal zeigen muss. Damit wäre mir wirklich sehr geholfen.
Worauf bezieht sich eigentlich die Maximumsnorm in diesem Beispiel? Geht es hier um die Maxima der Funktionswerte?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Mi 30.10.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Geg. sei [mm]B=( C(I), || .||_{\infty} )[/mm] der Raum der stetigen
> Funktionen auf dem abg. Intervall [mm]I= [a,b].[/mm]
> Das lineare Funktional [mm]\delta_x[/mm] auf [mm]B[/mm] sei gegeben durch
> [mm]\delta_x(f) = f(x)[/mm]
> Man zeige: [mm]\delta_x[/mm] liegt im Dualraum von [mm]B[/mm], also [mm]\delta_x \in B'[/mm]
> und berechne die Norm [mm]||\delta_x ||_{B'}.[/mm]
> Da die Angabe
> für mich leider zu abstrakt ist, bitte ich einen von euch
> mir aufzuschreiben, was ich formal zeigen muss. Damit wäre
> mir wirklich sehr geholfen.
Ist dir denn klar, was der Dualraum $B'$ ist, nämlich der Raum der stetigen linearen Funktionale von $B$ nach [mm] $\mathbb{R}$? [/mm] Du musst also zeigen, dass [mm]\delta_x[/mm] stetig ist.
Ich vermute die Norm [mm] $\|\cdot\|_{B'}$ [/mm] ist definiert als
[mm] \|F\|_{B'} = \sup_{\|f\|_\infty\le 1} |F(f)| [/mm] .
Dann musst du nur noch die Definition von [mm] $\delta_x$ [/mm] einsetzen.
> Worauf bezieht sich eigentlich die Maximumsnorm in diesem
> Beispiel? Geht es hier um die Maxima der Funktionswerte?
Ja. [mm] $\|f\|_\infty [/mm] = [mm] \sup_{x\in I} [/mm] |f(x)| $. Das existiert, weil I ein abgeschlossenes Intervall ist.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mi 30.10.2013 | | Autor: | clemenum |
Ich bin mir nicht sicher was ich zeigen muss dafür, dass [mm] $\delta_x$ [/mm] stetig ist, aber ich versuche es mal:
[mm] $\forall \epsilon>0 \exists \delta> [/mm] 0: || x - y [mm] ||_{\infty} [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow
[/mm]
|| f(x) - f(y) [mm] ||_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] I $ ?
Mein Problem ist aber, dass ich nicht weiß, woraus ich das folgern soll. Ich bitte dich um ein klein wenig mehr Erläuterung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mi 30.10.2013 | | Autor: | hippias |
> Ich bin mir nicht sicher was ich zeigen muss dafür, dass
> [mm]\delta_x[/mm] stetig ist, aber ich versuche es mal:
> [mm]$\forall \epsilon>0 \exists \delta>[/mm] 0: || x - y
> [mm]||_{\infty}[/mm] < [mm]\delta \Rightarrow[/mm]
> || f(x) - f(y)
> [mm]||_{\infty}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] [mm]\forall x,y \in I[/mm] ?
Das ist die Definition der gleichmaessigen Stetigkeit. Aber das ist hier in Ordnung, weil eine stetiges lineares Funktional auch gleichmaessig stetig ist. Schreibe das jetzt einmal so auf, dass es auch etwas mit der Aufgabenstellung zu tun hat: Aus welcher Menge sind $x$ und $y$? Schreibe auch nicht $f$, sondern benutze die Funktion, von der Du die Stetigkeit nachweisen moechtest.
>
> Mein Problem ist aber, dass ich nicht weiß, woraus ich das
> folgern soll. Ich bitte dich um ein klein wenig mehr
> Erläuterung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:19 Do 31.10.2013 | | Autor: | fred97 |
1. Zeige: [mm] \delta_x [/mm] ist linear.
2. Zeige: es ex. ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit: [mm] $|\delta_x(f)| \le [/mm] c|| [mm] f||_{\infty}$ [/mm] für alle f [mm] \in [/mm] B
(das ist die Stetigkeit)
FRED
|
|
|
|
