Rationalität zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Do 16.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
| Aufgabe | | Der g-al-Bruch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{g^{n}} [/mm] , sei periodisch, d.h es gibt ein [mm] \mu [/mm] und ein [mm] \lambda \ge [/mm] 1 mit [mm] a_{n+\lambda} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] für alle n [mm] \ge \mu. [/mm] Zeigen Sie: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{g^{n}} [/mm] ist rational |
Hallo, ich habe hier eine Aufgabe von der ich garnichts verstehe. Ich habe mir die Definitionen mehrmals durchgelsen, aber nichts davon sagt mir wie ich das hier machen soll. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.Danke schön schon mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Do 16.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
kann mir noch jemand helfen oder ist die sooo schwer? ich versuch mich nun wieder länger an der aufgabe.bitte bitte
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Alle Potenzen von [mm]g[/mm], deren Exponenten sich um gerade die Periodenlänge unterscheiden, zusammenfassen, den gemeinsamen Koeffizienten vor die Summe ziehen und die erste vorkommende Potenz von [mm]\frac{1}{g}[/mm] ausklammern. Geometrische Reihe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Do 16.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
das versteh ich nicht wirklich. wie soll ich das machen? und damit zeige ich das die reihe rational ist?
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> das versteh ich nicht wirklich. wie soll ich das machen?
So, wie Leopold_Gast es Dir gesagt hat:
Zerlege die Summe.
Für [mm] n<\mu [/mm] hast Du den nichtperiodischen Teil. Das ist eine endliche Summe rationaler Zahlen.
Für [mm] n\ge \mu [/mm] hast Du es mit dem periodischen Teil zu tun.
Den kannst Du Dir jetzt wieder aufteilen, denn im "Rhythmus" von [mm] \lambda [/mm] wiederholen sich die Koeffizienten. Du erhältst hier [mm] \lambda [/mm] Summen, die Du wie von Leopold_Gast beschrieben dann per geometrische Reihe unter Kontrolle bekommst.
Führe also zunächst die Aufspaltung durch.
Ich finde es immer hilfreich, sich zunächst ein konkretes Beipiel zu nehmen.
Mach das ganze doch mal für
12,3456987987987987987987987987987...
> und damit zeige ich das die reihe rational ist?
Wenn Du alles machst wie beschrieben, hast Du [mm] \lambda [/mm] +1 rationale Summanden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Fr 17.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
ich habs versucht, aba ichs chaff nicht mal den ansatz.kannst du mir nicht mal die ersten ein zwei schritte hier aufschreiben,damit ich den rest alleine versuchen kann.wäre lieb
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> ich habs versucht, aba ichs chaff nicht mal den
> ansatz.
Mich würde interessieren, was Du getan hast.
Den ersten Schritt kann man eigentlich kaum verkehrt machen.
kannst du mir nicht mal die ersten ein zwei schritte
> hier aufschreiben,damit ich den rest alleine versuchen
> kann.wäre lieb
Ich mach Dir's am Beispiel vor:
0,3456987987987987987987987987987...
[mm] =\bruch{3}{10^1}+\bruch{4}{10^2}+\bruch{5}{10^3}+\bruch{6}{10^4}+\bruch{9}{10^5}+\bruch{8}{10^6}+\bruch{7}{10^7}+\bruch{9}{10^8}+\bruch{8}{10^9}+\bruch{7}{10^{10}}+...
[/mm]
[mm] =(\bruch{3}{10^1}+\bruch{4}{10^2}+\bruch{5}{10^3}+\bruch{6}{10^4})+(\bruch{9}{10^5}+\bruch{8}{10^6}+\bruch{7}{10^7}+\bruch{9}{10^8}+\bruch{8}{10^9}+\bruch{7}{10^{10}}+...
[/mm]
)
[mm] =(\bruch{3}{10^1}+\bruch{4}{10^2}+\bruch{5}{10^3}+\bruch{6}{10^4})+(\bruch{9}{10^5}+\bruch{9}{10^8}+\bruch{9}{10^{11}}+...)+(\bruch{8}{10^6}+\bruch{8}{10^9}+\bruch{8}{10^{12}}+...)+(\bruch{7}{10^7}+\bruch{7}{10^{10}}+\bruch{7}{10^{13}}+...)
[/mm]
[mm] =(\bruch{3}{10^1}+\bruch{4}{10^2}+\bruch{5}{10^3}+\bruch{6}{10^4})+\bruch{9}{10^5}\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{10^3})^i +\bruch{8}{10^6}\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{10^3})^i +\bruch{7}{10^7}\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{10^3})^i [/mm]
Die erste Klammer ist offensichtlich rational, die Summen bekommst Du mit der geometrischen Reihe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Fr 17.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
hey danke. das was du gemacht hast verstehe ich auch. aber ich hab mehr als ein problem das auf die allgemine form zu bringen und dann noch umzuformen. bitte zeig mir doch die ersten beide schritte, das würde mir doch schon sehr helfen.
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> hey danke. das was du gemacht hast verstehe ich auch. aber
> ich hab mehr als ein problem das auf die allgemine form zu
> bringen und dann noch umzuformen.
Es geht haargenauso! Es kommt darauf an, daß Du überhaupt erstmal beginnst.
Was sind die [mm] a_i [/mm] im Beispiel? Was ist g in meinem Beispiel?
bitte zeig mir doch die
> ersten beide schritte, das würde mir doch schon sehr
> helfen.
Ich helfe Dir gerne auf die Sprünge - aber machen mußt Du allein.
Schreib Dir doch erstmal die Summe ohne Summenzeichen auf.
Du hast die Information
"d.h es gibt ein $ [mm] \mu [/mm] $ und ein $ [mm] \lambda \ge [/mm] $ 1 mit $ [mm] a_{n+\lambda} [/mm] $ = $ [mm] a_{n} [/mm] $ für alle n $ [mm] \ge \mu. [/mm] $"
Das bedeutet, daß sich ab dem [mm] \mu [/mm] -ten Folgenglied die Koeffizienten mit der Periode [mm] \lambda [/mm] wiederholen.
In dem von mir gerechneten Beispiel war [mm] \mu [/mm] =5 und [mm] \lambda [/mm] =3.
Wenn Du noch nicht durchblickst, mach Dir selbst einen periodischen Bruch und forme ihn entsprechend um.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:36 So 19.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
hey, hatte leider kein internet am we. also danke für deine tipps aber ich komm da einfach nicht weiter. kannst du mir nicht bitte die ersten beidens chritte heir hinschreiben damit ich damit weitermachen kann. muss das morgen abgeben und so langsam wird es eng
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> hey, hatte leider kein internet am we. also danke für deine
> tipps aber ich komm da einfach nicht weiter. kannst du mir
> nicht bitte die ersten beidens chritte heir hinschreiben
> damit ich damit weitermachen kann.
Hallo,
das mit den "ersten beiden Schritten" habe ich jetzt oft genug gelesen.
Leider sehe ich noch immer keinerlei Engagement von Deiner Seite, um die Aufgabe zur Lösung zu bringen.
Warum schreibst DU nicht den ersten Schritt auf? Er ist wahrlich mundgerecht vorbereitet...
Und wenn Du das nicht kannst: wo ist DEIN Beispiel mit einem selbstausgedachten periodischen Bruch?
Auch die zuvor gestellte Frage "Was sind die $ [mm] a_i [/mm] $ im Beispiel? Was ist g in meinem Beispiel?" harrt noch der Beantwortung.
> muss das morgen abgeben und so langsam wird es eng
Das ist wirklich DEIN Problem, und nicht das, was MICH bei der Mitarbeit hier interessiert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mi 22.11.2006 | | Autor: | JanisBen |
Hallo, ich hab mich auch mal an der Aufgabe versucht! Ich habe hier das mal Versucht im allgemeinen aufzuschreiben - hoffe das ist auch richtig eingegeben - Das ist doch soweit richtig, oder?
[mm] (\summe_{n=0}^{\mu -1}) (\bruch{a_{n}}{g^n}) [/mm] + [mm] (\bruch{a_{\mu}}{g^\mu}) (\summe_{i=0}^{\infty}) (\bruch{1}{g^{lamda}})^i [/mm] + [mm] (\bruch{a_{\mu+1}}{g^\mu+1}) [/mm] * [mm] (\summe_{i=0}^{\infty}) (\bruch{1}{g^{lamda}})^i [/mm] + ...
Nun hab ich allerdings das problem, wie sieht man das dies rational ist, sich also als bruch darsztellen läst?
Ich habs noch weiter zusammengefasst wenn das vielleicht weiter hilft:
[mm] (\summe_{n=0}^{\mu -1}) (\bruch{a_{n}}{g^n}) [/mm] + [mm] (\summe_{m=0}^{\lamda})((\bruch{a_{\mu+m}}{g^\mu+m})*(\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{g^{lamda}})^i [/mm] )
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Kleinere Schreibfehler, sonst richtig. Und so muß es heißen:
[mm]\sum_{n=1}^{\mu - 1}~\frac{a_n}{g^n} \ + \ \left( \sum_{m=0}^{\lambda - 1}~\frac{a_{\mu + m}}{g^{\mu + m}} \right) \ \cdot \ \left( \sum_{i=0}^{\infty}~\left( \frac{1}{g^{\lambda}} \right)^i \right)[/mm]
Und jetzt braucht man nur noch die Summenformel für die geometrische Reihe:
[mm]\sum_{i=0}^{\infty}~x^i = \frac{1}{1 - x}[/mm] für [mm]|x| < 1[/mm]
Und: [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist ein Körper, also bezüglich der rationalen Operationen abgeschlossen.
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