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| Aufgabe | Manchmal kann man einen Nenner wie
$$ [mm] a_1 \sqrt{b_1} [/mm] + .. + [mm] a_{n-1} \sqrt{b_{n-1}} [/mm] + [mm] a_n \sqrt{b_n} [/mm] = [mm] (a_1 \sqrt{b_1} [/mm] + .. + [mm] a_{n-1} \sqrt{b_{n-1}}) [/mm] + [mm] a_n \sqrt{b_n} [/mm] $$ rational machen, indem man mit $$ [mm] (a_1 \sqrt{b_1} [/mm] + .. + [mm] a_{n-1} \sqrt{b_{n-1}}) [/mm] - [mm] a_n \sqrt{b_n} [/mm] $$
erweitert. Die 3. binomische Formel liefert dann:
$$ [mm] \frac{1}{(a_1 \sqrt{b_1} + .. + a_{n-1} \sqrt{b_{n-1}}) + a_n \sqrt{b_n}} [/mm] = [mm] \frac{(a_1 \sqrt{b_1} + .. + a_{n-1} \sqrt{b_{n-1}}) - a_n \sqrt{b_n}}{(a_1 \sqrt{b_1} + .. + a_{n-1} \sqrt{b_{n-1}})^2 - a_n^2 b_n} [/mm] $$
[mm] \textbf{Frage:} [/mm] Für welche $n$ führt diese Methode wirklich zu einer Verringerung der Anzahl der Wurzelausdrücke im Nenner, so dass man ggf. durch Wiederholung des Verfahrens den Nenner rational machen kann? |
Durch ein wenig rumprobieren habe ich herausgefunden, dass für $n [mm] \in \{2, 3, 4\}$ [/mm] das Verfahren die Anzahl der Wurzelausdrücke tatsächlich verringert. Hingegen für $n [mm] \geq [/mm] 5$ scheint dem nicht mehr der Fall zu sein. (Ich habs bis $n = 7$ getestet.)
Also meine Fragen:
1) Gibts wirklich kein $n>4$, für das das Verfahren funktioniert?
2) Wie beweise ich das rein algebraisch?
Der Kern des Pudels muss vermutlich etwas mit Körpererweiterungen, dem Gradsatz und diesem Satz zu tun haben:
[mm] \textbf{Satz:} [/mm] Ist $K [mm] \subset [/mm] L$ Körpererweiterung und [mm] $\alpha \in [/mm] L$, so sind folgende Aussagen äquivalent:
i) der Ring [mm] $K[\alpha]$ [/mm] ist Körper,
ii) [mm] $\alpha$ [/mm] ist algebraisch über $K$,
iii) [mm] $\dim_K K[\alpha]$ [/mm] ist endlich.
Daraus lässt sich dann folgern, dass wenn $K [mm] \subset [/mm] L$ eine endliche Körpererweiterung ist, jedes Element von $L$ algebraisch über $K$ ist und der Grad seines Minimalpolynoms über $K$ ein Teiler von $[L:K]$ ist.
Ich finde hier dummerweise keinen vernünftigen Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 06.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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