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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 So 22.04.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] i.i.d. F, F stetig.
Es bezeichne [mm] $\pi$ [/mm] eine bel. Permutation auf [mm] $\left\{1,...,n\right\}$.
[/mm]
Es bezeichne [mm] $\Pi_n$ [/mm] die Menge aller Permutationen auf [mm] $\left\{1,...,n\right\}$.
[/mm]
[mm] $R:=r(X_1,...,X_n)$ [/mm] sei der Rangvektor.
Dann gilt:
[mm] $P(R=\pi)=\frac{1}{n!}$ [/mm] |
Hallo, wir hatten hierzu einen Beweis:
[mm] $P(R=\pi)=P(r(X_1,...,X_n)=\pi)=P(r(X_{\pi^{-1}(1)},...,X_{\pi^{-1}(n)})=(1,2,...,n))$
[/mm]
Dies gilt da [mm] $r(X_1,...,X_n)=\pi\leftrightarrow r(\pi^{-1}(X_1,...,X_n))=(1,2,...,n)$
Jetzt kommt eine Stelle, an der ich noch nicht verstehe:
Wieso gilt:
Wegen u.i.v. folgt
$P(r(X_{\pi^{-1}(1)},...,X_{\pi^{-1}(n)})=(1,2,...,n))=P(r(X_1,...,X_n)=(1,2,...,n)) \textbf{(a)}
D.h. $P(R=\pi)=P(R=(1,...,n))~\forall~\pi\in\Pi_n$
Und deswegen wegen $P(r(X_1,...,X_n)\in\Pi_n)=1$: \textbf{(b)}
$P(R=\pi)=\frac{1}{\operatorname{card}\Pi_n}=1/n!$
Die Zeile \textbf{(a)} verstehe ich noch gar nicht (da wäre eine Erklärung toll) und bei Zeile \textbf{(b)} bin ich mir nicht sicher, ob ich sie richtig verstehe:
Die Bemerkung bei \textbf{(b)} verstehe ich nämlich so: Weil die Wahrscheinlichkeit, daß der Rangvektor (unter den Voraussetzungen) einer Permutation entpspricht jeweils eins ist, also dieses Ereignis sicher eintritt, muss man ALLE Permutationen aus $\Pi_n$ berücksichtigen und das sind eben $n!$ - Stück.
Danke für jede Mühe!
mikexx
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 So 22.04.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hi, ne förmliche Antwort will ich dir nich geben, weil ich nicht genau weiß, ob ich evtl. aufm falschen Dampfer bin, aber mal eine kleine Idee meinerseits.
Ich denke, hier ist einfach nur verwendet, daß bei der Annahme, dass die [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] i.i.d. F, F stetig gilt, daß jede Permutation gleichwahrscheinlich ist.
Das gilt, da
1. wegen der Stetigkeit ausgeschlossen werden kann, dass je zwei Zufallsvariablen den gleichen Wert annehmen.
2. wegen der identischen Verteilung alle ZV die gleichen Werte annehmen
Aus 1. und 2. folgt schon, dass alle Permutationen gleichwahrscheinlich sind.
Und wenn Du jetzt zum Beispiel als Stichprobe
(9,8,7) hast, so läuft das ja auf
$P(r(7,8,9)=(1,2,3))$ hinaus und das ist eben wegen der oben beschriebenen Eigenschaft (also wegen der u.i.v. Voraussetzung) das Gleiche, als hättest Du irgendeine Stichprobe, bei der sich als Rang (1,2,3) ergibt, eben 1/n!, weil eben die Permutationen gleichwahrscheinlich sind.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:00 So 22.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Leider nicht, ich steige da wegen der engl. Sprache nicht gut durch. Und die Notation verwirrt mich.
Könntest Du es mir erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 24.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:37 So 22.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Ist das so gemeint, das halt die Wahrscheinlichkeit, daß der Rangvektor eine bestimmte Permutation ist, identisch ist mit der Wahrscheinlichkeit, daß man gerade die Permutation hat, bei der die Einträge aufsteigend sind (da kommt nur eine Permutation in Frage, die die Einträge ders Stichprobenvektors so anordnet) und wegen der Unabhängigkeit das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist:
Für die erste Stelle hat man 1 Möglichkeit aus n, bei der zweiten Position noch 1 aus (n-1) und so weiter und deswegen ergibt sich 1/n! ?
Und wofür braucht man dann das identisch verteilt?
Also daß die [mm] X_i [/mm] stetig verteilt sind, verstehe ich, damit es keine Bindungen gibt und man wirklich auch Permutationen hat. Aber wieso IDENTSCH verteilt?
Ist es so, wie dennis2 sagt, daß man diese i.i.d Voraussetzung hat, damit man weiß, daß jede Permutation gleichwahrscheinlich ist?
Also unabhängig und stetig, damit man weiß, jede ZV kann jeden Wert annehmen (dafür die unabhängig Voraussetzung) und die Wahrscheinlichkeit, daß je zwei den gleichen Wert annehmen ist null (dafür die Stetigkeit)
und identisch, damit die Zufallsvariablen jeweils die selben Werte zur Verfügung haben (die aber nicht gleichzeitig angenommen werden)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 24.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 So 22.04.2012 | | Autor: | luis52 |
Zu (a):
[mm] $P(r(X_{\pi^{-1}(1)},...,X_{\pi^{-1}(n)})=(1,2,...,n))=P(r(X_1,...,X_n)=(1,2,...,n)) [/mm] $ bedeutet [mm] $P(X_{\pi^{-1}(1)}<\dots) Mit anderen Worten: Jede Reihenfolge ist gleichwahrscheinlich.
Hier mal ein ein Argument fuer den Fall $n=2_$ (vielleicht ein Induktionsanfang): Fuer die gemeinsame Dichte gilt also [mm] $g(x_1,x_2)=f(x_1)f(x_2)$
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
P(X_2
Analog ist [mm] $P(X_1
Fuer den allgemeinen Fall braucht man wohl etwas Masstheorie.
vg Luis
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:11 So 22.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Aber meine Frage war ja ,wieso
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> [mm]P(r(X_{\pi^{-1}(1)},...,X_{\pi^{-1}(n)})=(1,2,...,n))=P(r(X_1,...,X_n)=(1,2,...,n)) [/mm]
gilt und was diese Gleichheit mit der i.i.d. annahme zu tun hat
Liegt das daran, das z.B. [mm] $P(X_3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 24.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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das hier, Seite 2-3