Rangbestimmung einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:35 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Jimpanse |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Rang der Matrix mit dem Gauß-Algorithmus |
Guten Abend Leute,
ich habe folgende Matrix gegeben:
[mm] \pmat{ 3 & 5 & 2 & 8 \\ 3 & 7 & 2 & 7 \\ 0 & 2 & 0 & -1 }
[/mm]
ich soll nun mithilfe des Gauß-Algorithmus den Rang bestimmen.
Ich weiß, dass der Rang = 2 ist, weil ich die Aufgabe mithilfe von Unterdeterminanten bereits gelöst habe und es bei einer 2x2 Matrix eine Lösung gab, die größer als 0 war.
Leider (!) ist die Aufgabe damit nicht erfüllt. Der Gauß-Alg. funktioniert mittels elementarer Umformungen. Aber wie kann ich sie auf eine Matrix anwenden, die nicht symmetrisch ist? Muss ich Zeilen streichen oder mit Einsen erweitern?
Eine weitere Frage meinerseits ist, wie es bei einer 3x5 Matrix funktioniert.
Schönen Abend und liebe Grüße!
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Hallo,
wende doch den Gauß-Alg. einfach mal auf die Matrix an.
Subtrahiere Zeile 1 von Zeile 2. Dann siehst du sofort, dass Zeile 2 und 3 linear abhängig sind.
Hilft das?
Edit:
Ein paar allgemeine Infos:
Mach dir klar, dass $\ [mm] \operatorname{rank} [/mm] A = [mm] \operatorname{rank}\varphi [/mm] $
Wobei $ [mm] \varphi [/mm] $ die zur Matrix gehörende lineare Abbildung ist.
Weiter ist $ [mm] \operatorname{rank}\varphi [/mm] = [mm] \operatorname{dim} \operatorname{im}\varphi [/mm] = [mm] \operatorname{dim} \operatorname{span}(s_1,s_2,s_3,s_4)$ [/mm] wobei $ [mm] s_i [/mm] $ mit $ i = 1,...,4 $ die Spalten der Matrix $ A $ bezeichnet.
Und weil gilt: Zeilenrang = Spaltenrang reicht es, den Gauß-Algorithmus auf die Zeilen anzuwenden.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:22 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Jimpanse |
danke für die schnelle Antwort zu dieser Zeit!!
so, habs subtrahiert und sehe jetzt, dass die Zeilen lin. abhängig sind.
jetzt hab ichs nochmal bei der 3x5 Matrix probiert:
[mm] \pmat{ 3 & 5 & 2 & 8 & 1 \\ 3 & 7 & 2 & 7 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 3 }
[/mm]
ich habe hier mit dem gleichen Schritt angefangen und erstmal Z. 1 * (-1) + Z. 2. Die Matrix ist ja fast identisch. ich bekomme in diesem Fall aber keine lin- Abhängigkeit heraus, weil die Zahlen in Z.2 und Z.3 in Spalte 5 verschieden sind.
Kannst du mir das bestätigen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:37 Fr 23.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
"Die Matrix ist ja fast identisch. ich bekomme in diesem Fall aber keine lin- Abhängigkeit heraus, weil die Zahlen in Z.2 und Z.3 in Spalte 5 verschieden sind."
Ich weiss nicht so genau ob du das mit dem Ermitteln der Lin. Unabhängigkeit richtig erfasst hast oder nicht. Am besten vereinfachst du noch weiter.
D.h. von Zeile 2 die Zeile 1 abziehen.
Und dann(!) von Zeile 3 die Zeile 2.
Sie sind linear Unabhängig, ja.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:12 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Jimpanse |
ok, ich glaube, dass mein Rechenschritt ein bisschen untergegangen ist.
Also jetzt ausführlich:
Ausgangsmatrix ist:
[mm] \pmat{ 3 & 5 & 2 & 8 & 1 \\ 3 & 7 & 2 & 7 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 3 }
[/mm]
so, dann habe ich das gemacht, was du geschrieben hast, daraus folgt dann:
[mm] \pmat{ 3 & 5 & 2 & 8 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 3 }
[/mm]
wie man sieht, sind die jeweils letzten Zahlen der 2. und 3. Spalte unterschiedlich. Ich wüsste an dieser Stelle auch nicht, wie ich weiter vereinfachen könnte, um auf einen Rang von 2 zu kommen.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:14 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Jimpanse |
> [mm]\pmat{ 3 & 5 & 2 & 8 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 3 }[/mm]
>
> wie man sieht, sind die jeweils letzten Zahlen der 2. und
> 3. Spalte unterschiedlich.
natürlich der Zeile und nicht der Spalte.
Ist schon spät.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:20 Fr 23.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja,
Also eben am schluss dann:
[mm] \pmat{ 3 & 5 & 2 & 8 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Und um den Rang zu bestimmen (egal ob 4x4 oder 30x3 Matrix) einfach die Anzahl Pivotelemente Zählen, was dem Rang entspricht.
Pivotelemente sind diejenigen, die zuvorderst einer Zeile Stehen und nicht Null sind. Das funktioniert nur, wenn die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht wurde.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:25 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Jimpanse |
alles klar!
vielen Dank fürs Erklären, jetzt hab ichs begriffen.
Liebe Grüße
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