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| Aufgabe | Sei eine lineare Abbildung $f: [mm] \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ [/mm] gegeben durch
[mm] $(x_1, x_2, x_3) \to (2x_1+3x_2+x_3, 2x_1+3x_2+2x_3)$.
[/mm]
Wie lautet der Rang von f? Gib die Koordinatenmatrix [mm] $M_{\eta \eta} [/mm] (f)$ an. |
Hallo,
es ist ja $rg(f) = dim Im(f)$.
Im(f) ist dann doch gegeben durch
[mm] $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Und diese Matrix hat dimension 2, also ist rg(f) = 2 ?
Zur Koordinatenmatrix:
Was bedeutet [mm] $M_{\eta \eta}(f)$? [/mm] Die [mm] $\eta$ [/mm] scheinen Basen zu bezeichnen, aber was genau ist hier zu tun?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Do 20.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei eine lineare Abbildung [mm]f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2[/mm]
> gegeben durch
>
> [mm](x_1, x_2, x_3) \to (2x_1+3x_2+x_3, 2x_1+3x_2+2x_3)[/mm].
>
> Wie lautet der Rang von f? Gib die Koordinatenmatrix
> [mm]M_{\eta \eta} (f)[/mm] an.
> Hallo,
>
> es ist ja [mm]rg(f) = dim Im(f)[/mm].
>
> Im(f) ist dann doch gegeben durch
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}[/mm].
Nein. Das ist die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Standardbasen.
Im(f) ist der Bildraum von f, also ein Unterraum des [mm] \IR^2
[/mm]
>
> Und diese Matrix hat dimension 2
Dies Matrix hat Rang=2.
> also ist rg(f) = 2 ?
Ja
>
>
> Zur Koordinatenmatrix:
>
> Was bedeutet [mm]M_{\eta \eta}(f)[/mm]? Die [mm]\eta[/mm] scheinen Basen zu
> bezeichnen
Ja, sieht danach aus. Dass da aber zweimal [mm] \eta [/mm] steht ist merkwürdig !
> , aber was genau ist hier zu tun?
Die Abbildungsmatrix bestimmen.
Steht in der Aufgabe wirklich [mm]M_{\eta \eta}(f)[/mm] ???
FRED
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Hallo noch einmal,
Ja, habe noch einmal nachgesehen. Es steht genau so:
"Gib die Koordinatenmatrix [mm] $M_{\eta \eta}(f)$ [/mm] an$.
In einem späteren Schritt soll man dann folgendes tun:
"Bestimme [mm] $M_{\beta \gamma} [/mm] (f)$ zu zwei Basen [mm] $\beta$ [/mm] und [mm] $\gamma$, [/mm] die zuvor angegeben wurden.
Und wie bestimme ich dann Im(f), anstatt - wie ich es getan habe - die Abbildungsmatrix?
Lg
EDIT:
Stelle ich die drei Basisvektoren von V, d.h. (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) mit F dar, so erhalte ich die drei Vektoren (2,2), (3,3) und (1,2). Diese spannen das Bild auf. Das der erste und zweite linear abhängig sind ist
$Im(F) = span((2,2), (1,2)) = span((1,1), (1,2))$ zum Beispiel.
Der Kern ergibt sich aus Zeilenumformungen der Abbildungsmatrix, welche dann ergibt dass [mm] $x_3=0, 2x_1=-3x_2$. [/mm] Damit gilt
$Ker(F) = span(2,-3,0)$. Der Kern wird also von einem Vektor aufgespannt.
Insgesamt gilt
$dim(Ker(F)) = 1, dim(Im(F)) = 2 = rang(F)$.
Stimmt's soweit?
Der Kern davon wäre dann der Nullvektor.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:44 Sa 22.03.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo noch einmal,
>
> Ja, habe noch einmal nachgesehen. Es steht genau so:
>
> "Gib die Koordinatenmatrix [mm]$M_{\eta \eta}(f)$[/mm] an$.
>
> In einem späteren Schritt soll man dann folgendes tun:
>
> "Bestimme [mm]M_{\beta \gamma} (f)[/mm] zu zwei Basen [mm]\beta[/mm] und
> [mm]\gamma[/mm], die zuvor angegeben wurden.
>
>
> Und wie bestimme ich dann Im(f), anstatt - wie ich es getan
> habe - die Abbildungsmatrix?
Das ist der erste Schritt, aber noch nicht fertig. Siehe unten.
>
> Lg
>
> EDIT:
> Stelle ich die drei Basisvektoren von V, d.h. (1,0,0),
> (0,1,0), (0,0,1) mit F dar, so erhalte ich die drei
> Vektoren (2,2), (3,3) und (1,2). Diese spannen das Bild
> auf. Das der erste und zweite linear abhängig sind ist
> [mm]Im(F) = span((2,2), (1,2)) = span((1,1), (1,2))[/mm] zum
> Beispiel.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Der Kern ergibt sich aus Zeilenumformungen der
> Abbildungsmatrix, welche dann ergibt dass [mm]x_3=0, 2x_1=-3x_2[/mm].
> Damit gilt
> [mm]Ker(F) = span(2,-3,0)[/mm]. Der Kern wird also von einem Vektor
> aufgespannt.
>
> Insgesamt gilt
>
> [mm]dim(Ker(F)) = 1, dim(Im(F)) = 2 = rang(F)[/mm].
>
> Stimmt's soweit?
>
> Der Kern davon wäre dann der Nullvektor.
Nein, oben hast du selber was anderes geschrieben.
Aber der Nullvektor ist in jedem Kern enthalten.
Gruß
meili
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