Rang einer Matrix (2x120) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten die Matrix
[mm] A=(_{i,j})\in [/mm] Mat(2x120, [mm] \IR) [/mm] mit [mm] \bruch{1}{i+j}
[/mm]
Bestimmen sie den Spalten- und Zeilenrang von A. |
Hallo zusammen,
Ich habe die Matrix mal notiert:
[mm] A=\pmat{ a_{1,1} & a_{1,2}&a_{1,3}&...&a_{1,120} \\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3} & ...&a_{2,120} }=\pmat{ \bruch{1}{1+1} & \bruch{1}{1+2}&\bruch{1}{1+3&\bruch{1}{1+4}&...&\bruch{1}{1+120}} \\ \bruch{1}{2+1} &\bruch{1}{2+2}&\bruch{1}{2+3}&\bruch{1}{2+4}&...&\bruch{1}{2+120}}=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3}&\bruch{1}{4}&\bruch{1}{5}&...&\bruch{1}{121} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{4}&\bruch{1}{5}&\bruch{1}{6}&...&\bruch{1}{122} }
[/mm]
So mal zum Zeilenrang [mm] r_Z [/mm] :
der kann ja max. zwei sein, also [mm] r_Z\le2
[/mm]
Um das Problem zu lösen könnte ich doch jetzt 1. die lin. Abh. der beiden Zeilen unersuchen, oder 2. die Unterdeterminanten.
Nun mal meine Fragen:
zu 1. : Betrachte ich mal die ersten Elemente der beiden Zeilen [mm] a_{1,1}=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] a_{2,1}=\bruch{1}{3}. [/mm]
Dann stellt man leicht fest: [mm] a_{1,1}*\bruch{2}{3}=\bruch{1*2}{2*3}=\bruch{1}{3}=a_{2,1}.
[/mm]
Und dann stellt man fest: [mm] a_{1,2}*\bruch{2}{3}=\bruch{2}{9}\not=a_{2,2}=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \Richtarrow [/mm] die Zeilen sind nicht lin. abh., also [mm] r_Z=2
[/mm]
Richtig? Und wenn ja, reicht die Notation dann aus?
zu 2. :Ich betrachte mal die erste Unterdeterminante, soll heißen, ich streiche alle Spalten bis auf die ersten beiden und erhalte so eine (2x2)-Matrix mit der Determinanten:
[mm] U_1=\vmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{4} }=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{4}-\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3}=\bruch{1}{8}-\bruch{1}{9}\not=0, [/mm] somit ist schon min. eine der Unterdeterminanten [mm] U_i\not=0 [/mm] und damit ist [mm] r_Z=2.
[/mm]
Richtig? wenn ja, auch hier wieder die Frage nach dem Aufschrieb.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Di 03.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die Matrix
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> [mm]A=(_{i,j})\in[/mm] Mat(2x120, [mm]\IR)[/mm] mit [mm]\bruch{1}{i+j}[/mm]
>
> Bestimmen sie den Spalten- und Zeilenrang von A.
> Hallo zusammen,
>
> Ich habe die Matrix mal notiert:
>
> [mm]A=\pmat{ a_{1,1} & a_{1,2}&a_{1,3}&...&a_{1,120} \\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3} & ...&a_{2,120} }=\pmat{ \bruch{1}{1+1} & \bruch{1}{1+2}&\bruch{1}{1+3&\bruch{1}{1+4}&...&\bruch{1}{1+120}} \\ \bruch{1}{2+1} &\bruch{1}{2+2}&\bruch{1}{2+3}&\bruch{1}{2+4}&...&\bruch{1}{2+120}}=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3}&\bruch{1}{4}&\bruch{1}{5}&...&\bruch{1}{121} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{4}&\bruch{1}{5}&\bruch{1}{6}&...&\bruch{1}{122} }[/mm]
>
> So mal zum Zeilenrang [mm]r_Z[/mm] :
> der kann ja max. zwei sein, also [mm]r_Z\le2[/mm]
>
> Um das Problem zu lösen könnte ich doch jetzt 1. die lin.
> Abh. der beiden Zeilen unersuchen, oder 2. die
> Unterdeterminanten.
>
> Nun mal meine Fragen:
>
> zu 1. : Betrachte ich mal die ersten Elemente der beiden
> Zeilen [mm]a_{1,1}=\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]a_{2,1}=\bruch{1}{3}.[/mm]
> Dann stellt man leicht fest:
> [mm]a_{1,1}*\bruch{2}{3}=\bruch{1*2}{2*3}=\bruch{1}{3}=a_{2,1}.[/mm]
>
> Und dann stellt man fest:
> [mm]a_{1,2}*\bruch{2}{3}=\bruch{2}{9}\not=a_{2,2}=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]\Richtarrow[/mm] die Zeilen sind nicht lin. abh., also [mm]r_Z=2[/mm]
>
> Richtig? Und wenn ja, reicht die Notation dann aus?
Ja
>
>
> zu 2. :Ich betrachte mal die erste Unterdeterminante, soll
> heißen, ich streiche alle Spalten bis auf die ersten
> beiden und erhalte so eine (2x2)-Matrix mit der
> Determinanten:
>
> [mm]U_1=\vmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{4} }=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{4}-\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3}=\bruch{1}{8}-\bruch{1}{9}\not=0,[/mm]
> somit ist schon min. eine der Unterdeterminanten [mm]U_i\not=0[/mm]
> und damit ist [mm]r_Z=2.[/mm]
>
> Richtig?
Ja
FRED
> wenn ja, auch hier wieder die Frage nach dem
> Aufschrieb.
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Jetzt möchte ich gerne den Spaltenrang bestimmen, [mm] r_S
[/mm]
Jetzt hatte ich mal den Satz gehört für A [mm] \in [/mm] M(mxn): [mm] r_Z=r_S. [/mm] Kann ich mich einfach darauf berufen, oder muss ich das hier noch zeigen? Und wenn ich das zeigen muss, dann frage ich mich gerade wie das laufen soll. Über eure Hilfe würde ich mich wieder freuen.
Ich habe die Matrix A mal transponiert, nun weiss ich aber auc hschon nicht weiter...
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> Jetzt möchte ich gerne den Spaltenrang bestimmen, [mm]r_S[/mm]
>
> Jetzt hatte ich mal den Satz gehört für A [mm]\in[/mm] M(mxn):
> [mm]r_Z=r_S.[/mm] Kann ich mich einfach darauf berufen, oder muss
> ich das hier noch zeigen?
Hallo,
wenn Ihr das bereits gelernt habt, kannst Du dich darauf berufen.
LG Angela
> Und wenn ich das zeigen muss,
> dann frage ich mich gerade wie das laufen soll. Über eure
> Hilfe würde ich mich wieder freuen.
>
>
> Ich habe die Matrix A mal transponiert, nun weiss ich aber
> auc hschon nicht weiter...
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Leider kann ich nicht sagen, ob das schon gezeigt wurde...also bleibt wohl nur der "harte" Weg...nur wie fange ich da jetzt an?
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Hallo,
zum Spaltenrang:
Du kannst zeigen, daß die ersten beiden Spalten linear unabhängig sind.
Damit weißt Du, daß der Spaltenrang mindestens =2 ist.
Kann er >2 sein?
LG Angela
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Ok, die lin. Unabh. der ersten beiden Zeilen ist da recht einfach> Hallo,
> Kann er >2 sein?
>
> LG Angela
>
Na wenn du so fragst wohl nicht, nur die Erklärung kann ich nicht nennen. Oder kann ich einfach sagen, dass Rg(A)=2 also kann der Spaltenrang (das ist doch [mm] Rg(A^{T}, [/mm] oder) auch nur max. 2 zwei sein?
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> Ok, die lin. Unabh. der ersten beiden Zeilen ist da recht
> einfach> Hallo,
>
> > Kann er >2 sein?
> >
> > LG Angela
> >
>
> Na wenn du so fragst wohl nicht,
Messerscharf kombiniert!
> nur die Erklärung kann
> ich nicht nennen.
Bedenke: der Spaltenraum ist ein Unterraum des [mm] \IR^2.
[/mm]
LG Angela
Oder kann ich einfach sagen, dass Rg(A)=2
> also kann der Spaltenrang (das ist doch [mm]Rg(A^{T},[/mm] oder)
> auch nur max. 2 zwei sein?
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Ok, dann würde ich sagen:
Da ich bereits zwei unabh. Vektoren (Spalten) gefunden habe, kann ich alle anderen als Linearkombination dieser beiden darstellen. Denn zwei lin. unabh. Vektoren des [mm] \IR^2 [/mm] spannen den gesamten [mm] \IR^2 [/mm] auf.
Richtig?
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> Ok, dann würde ich sagen:
>
> Da ich bereits zwei unabh. Vektoren (Spalten) gefunden
> habe, kann ich alle anderen als Linearkombination dieser
> beiden darstellen. Denn zwei lin. unabh. Vektoren des [mm]\IR^2[/mm]
> spannen den gesamten [mm]\IR^2[/mm] auf.
>
> Richtig?
Hallo,
ja, [mm] dim\IR^2=2
[/mm]
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Danke!
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