Rang einer Matrix < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mo 26.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
ich soll von folgenden Gleichungssystem den Rang und den Rang der erweiterten Matrix berechnen.
Die Dimension is auch gefragt und eben hier scheitere ich weil ich nirgends eine verständliche Erklärung finde.
3x-6y-12z=9
-4x+8y+16z=-12 Matrix und erweiterte Matrix haben beide Rang 1 somit lösbar
Nun stehe ich aber bei der Dimension des Lösungsraumes an
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moin racy,
Zum einen: einen Lösungsraum in dem Sinne, dass alle Lösungen zusammen einen Vektorraum bilden, hast du nur für ein homogenes Gleichungssystem, also wenn die rechte Spalte eine Nullspalte ist (überleg dir wieso).
Ist dir dies bereits bewusst und möchtest du als Lösungsraum lieber eine Art affinen Raum konstruieren so brauchst du hier nicht weiter zu lesen; aber solltest du (wie ich einfach mal zu vermuten wage) noch nicht wirklich von affinen Räumen gehört haben und lieber bei den gerade eben kennen gelernten Vektorräumen bleiben so führe dir mal den nachfolgenden Absatz zu Gemüte.
Ist nun also nach dem Vektorraum der Lösungen und seiner Dimension gefragt so müssen wir erst einmal ein wenig basteln.
Das klassische Vorgehen dazu ist, das Gleichungssystem zu homogenisieren.
Also ist $A$ deine "linke Seite" und $y$ deine rechte Seite des Gleichungssystems (jeweils als Matrix bzw. Vektor), so werden nicht mehr die Lösungen von $Ax = y$ gesucht sondern die Lösungen von $Ax = 0$.
Anders als bei allgemeinem $y$ hat man hier sehr wohl einen Vektorraum, dieser heißt der Kern von $A$ (Ke$(A)$).
Für dessen Dimension würde ich dir raten dein Skript zu bemühen.
Ich glaube, dass du diese berechnen kannst als
dim(Ke$(A)$)) = Anzahl Spalten von $A$ - Rang$(A)$
Allerdings bin ich mir hierbei nicht ganz sicher, weshalb du das besser nochmal nachschlägst.
Zu guter Letzt bleibt noch die Frage offen, wieso man nun die Dimension des Kerns als Dimension des Lösungsraums nehmen kann (auch wenn das formal falsch ist). Überlege dir hierfür, dass wenn du eine einzelne Lösung [mm] $x_0$ [/mm] gegeben hast, dass dann die Menge aller Lösungen folgende Form hat:
[mm] $\{ x_0 + x | x \in Ke(A) \}$.
[/mm]
Überlege dir dafür sowohl, dass alle Elemente dieser Menge Lösungen sind, als auch, dass alle Lösungen in dieser Menge enthalten sein müssen.
Aber Achtung: Du brauchst hier explizit die Lösung [mm] $x_0$.
[/mm]
Nur aus der Dimension des Kerns kannst du noch nicht viel folgern, es könnte der Kern auch vergleichsweise groß sein und dennoch gibt es keine einzige Lösung.
Hast du also für ein Gleichungssystem den Kern und eine einzige Lösung gegeben, so hast du damit alle Lösungen.
Dies solltest du für später, sollten einmal Lösungs"räume" zu berechnen sein, im Hinterkopf behalten.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 26.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Also habe ich in dem Fall Dimension 2 weil 3 Spalten - 1 (rang)
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Wie gesagt solltest du die Formel am besten nochmal wo anders verifzieren, aber ich meine schon, ja.
Davon abgesehen würde ich dir dringend raten mal zu fragen, was genau mit der Dimension gemeint ist, denn wie bereits gesagt hast du hier eigentlich keinen Vektorraum...
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