Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Do 23.06.2011 | | Autor: | Stsch |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, brauche hilfe bei folgender aufgabe.
[mm] \pmat{ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \\ 1 & a-1 & 1-a }
[/mm]
a ist [mm] \in \IR
[/mm]
i) hier soll ich bestimmen für welche a der Rang der Matrix 3 ist.
Ich muss jetzt die Matrix auf die Zeilenstufenform bringen und schauen für welche a keine Nullzeile entsteht.
Das habe ich auch versucht:
[mm] \pmat{ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \\ 1 & a-1 & 1-a }
[/mm]
Ich habe erst Zeilen vertauscht:
[mm] \pmat{ 1 & a-1 & 1-a \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a }
[/mm]
Dann habe ich die erste Zeile minus die zweite und dritte genommen:
[mm] \pmat{ 1 & a-1 & 1-a \\ 0 & -1 & -a \\ 0 & a-2 & 1-2a }
[/mm]
Ich schaffe es nicht auf die Zeilenstufenf. zu bringen. Geht das überhaupt hier?
Gruß
|
|
| |
|
Hallo Stsch, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hi, brauche hilfe bei folgender aufgabe.
> [mm]\pmat{ 1 & a & 1 \\
1 & 1 & a \\
1 & a-1 & 1-a }[/mm]
> a ist [mm]\in \IR[/mm]
>
> i) hier soll ich bestimmen für welche a der Rang der
> Matrix 3 ist.
> Ich muss jetzt die Matrix auf die Zeilenstufenform
> bringen und schauen für welche a keine Nullzeile
> entsteht.
Du kannst auch direkt die Determinante der Matrix ausrechnen. Wenn sie ungleich Null ist, ist der Rang auch 3.
Du hast keine Angaben zu Deinem mathematischen Hintergrund gemacht. Das wäre sehr hilfreich, um die Antwort passend formulieren zu können. Vielleicht hattet Ihr ja z.B. noch gar keine Determinanten, oder vielleicht hörst Du gerade eine Vorlesung zu linearer Algebra, dann kann man natürlich mehr voraussetzen.
Das ist hier aber wohl noch nicht nötig:
> Das habe ich auch versucht:
> [mm]\pmat{ 1 & a & 1 \\
1 & 1 & a \\
1 & a-1 & 1-a }[/mm]
> Ich habe
> erst Zeilen vertauscht:
> [mm]\pmat{ 1 & a-1 & 1-a \\
1 & a & 1 \\
1 & 1 & a }[/mm]
> Dann
> habe ich die erste Zeile minus die zweite und dritte
> genommen:
> [mm]\pmat{ 1 & a-1 & 1-a \\
0 & -1 & -a \\
0 & a-2 & 1-2a }[/mm]
Soweit gut. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich schaffe es nicht auf die Zeilenstufenf. zu bringen.
> Geht das überhaupt hier?
Ja, klar. Du multiplizierst die zweite Zeile mit (a-2) und addierst dann die dritte Zeile. So verschwindet dann in der dritten Zeile auch das (a-2) an der zweiten Stelle und Du hast die Zeilenstufenform.
Wundere dich aber nicht, dass dann an der dritten Stelle etwas quadratisches und "längeres" steht. Das soll hier so sein...
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Do 23.06.2011 | | Autor: | Stsch |
Danke dir.
Bin im ersten Semester Mathe.
Also ich habe jetzt am da stehen
[mm] \pmat{ 1 & a-1 & 1-a \\ 0 & -a-2 & -a^2-2 \\ 0 & 0 & -a^2-2a-1 }
[/mm]
Stimmt das soweit??
Dann muss ich ja die Nullstelle von [mm] -a^2-2a-1 [/mm] dem berechenen. Nullstelle ist bei -1. Also ist der Rang für alle a ungleich -1 gleich drei.
Ich weiß von der Vorlesung aber das die Lösung 1 und -1 ist. Wie komme ich auf 1 oder habe ich mich irgendwo verechnet??
|
|
|
| |
|
Hallo Stsch,
> Danke dir.
> Bin im ersten Semester Mathe.
> Also ich habe jetzt am da stehen
> [mm]\pmat{ 1 & a-1 & 1-a \\
0 & -a-2 & -a^2-2 \\
0 & 0 & -a^2-2a-1 }[/mm]
>
> Stimmt das soweit??
Nein, das passt nicht, wenn du oben in Zeile 2 mit [mm](a-2)[/mm] multiplizierst, steht im letzten Eintrag [mm]a_{23}[/mm] doch [mm]-a(a-2)=-a^2\red{+}2\red{a}[/mm]
Im Eintrag [mm]a_{22}[/mm] muss außerdem [mm]-a\red{+}2[/mm] stehen, sonst hebt sich das doch nicht weg mit dem Eintrag [mm]a_{32}[/mm] ...
Damit vereinfacht sich dann bei Addition auf die 3.Zeile der Eintrag [mm]a_{33}[/mm] zu [mm]-a^2+1[/mm]
Und [mm]-a^2+1=0[/mm] ist doch schnell gelöst.
Übrigens brauchst du die Ergebnisse in der 2.Zeile nicht hinzuschreiben, du kannst ja nachher wieder durch [mm]a-2[/mm] teilen, lass dort also [mm]0 \ \ -1 \ \ -a[/mm] stehen ...
Richtig also
[mm]\pmat{1&a-1&1-a\\
0&-a+2&-a^2+2a\\
0&0&-a^2+1}[/mm] bzw. [mm]\pmat{1&a-1&1-a\\
0&-1&-a\\
0&0&-a^2+1}[/mm]
> Dann muss ich ja die Nullstelle von [mm]-a^2-2a-1[/mm] dem
> berechenen. Nullstelle ist bei -1. Also ist der Rang für
> alle a ungleich -1 gleich drei.
> Ich weiß von der Vorlesung aber das die Lösung 1 und -1
> ist. Wie komme ich auf 1 oder habe ich mich irgendwo
> verechnet??
Ja, hast du ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Do 23.06.2011 | | Autor: | Stsch |
Dir auch danke, da habe ich mich wohl ziemlich blöd angestellt.
Beim zweiten Aufgabenteil soll ich sagen, ob der Rang von A = 1 für ein a sein kann. Mit Begründung.
Also ich weiß ja jetzt wegen dem ersten Teil, dass ich nur wenn a= 1 oder a=-1 ist Nullzeilen erzeugen kann.
Wenn ich mir die Zeilenstufenf. ansehe, sieht man ja, dass die erste Zeile keine Nullzeile wird da bei [mm] a_{11} [/mm] immernoch die 1 steht. Und bei der zweiten zeile bleibt bei [mm] a_{22} [/mm] die -1 immer stehn , womit dort auch keine Nullzeile steht. Also kann der Rang nicht 1 sein.
Würde das als Begründung ausreichen??
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Dir auch danke, da habe ich mich wohl ziemlich blöd
> angestellt.
> Beim zweiten Aufgabenteil soll ich sagen, ob der Rang von
> A = 1 für ein a sein kann. Mit Begründung.
> Also ich weiß ja jetzt wegen dem ersten Teil, dass ich nur
> wenn a= 1 oder a=-1 ist Nullzeilen erzeugen kann.
> Wenn ich mir die Zeilenstufenf. ansehe, sieht man ja, dass
> die erste Zeile keine Nullzeile wird da bei [mm]a_{11}[/mm]
> immernoch die 1 steht. Und bei der zweiten zeile bleibt bei
> [mm]a_{22}[/mm] die -1 immer stehn , womit dort auch keine Nullzeile
> steht. Also kann der Rang nicht 1 sein.
Jo, hört sich plausibel an!
> Würde das als Begründung ausreichen??
Jo, schreibe doch einfach noch in den beiden Fällen [mm] $a=\pm [/mm] 1$ die Matrizen in ZSF explizit hin, dann sieht man, dass die Rang 2 haben ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Do 23.06.2011 | | Autor: | Stsch |
Oki, danke nochmal für die Hilfe.
Gruß
|
|
|
|
