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| Aufgabe | Geben Sie eine Gleichung für b,c und d an, so dass die folgenden matrizen denselben Rang haben
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & b \\ 2 & -1 & 3 & c \\ 1 & 4 &-2 & d}
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 &-2} [/mm] |
Hallo,
die Matrix B hat Rang 3.
Die Vorgehensweise für Matrix A war nun, sie auf Zeilenstufenform zu bringen und eine Gleichung zu finden, so dass eine Nullreihe entsteht. Ist das so schonmal okay ?
Hier meine Rechnung
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & b \\ 2 & -1 & 3 & c \\ 1 & 4 &-2 & d}
[/mm]
[mm] r_2-r_1 [/mm] , [mm] r_3-2r_1 [/mm] , [mm] r_4-r_1
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -3 & 0 \\ & -1 & 3 & b \\ 0 & -5 & 9 & c \\ 0 & 2 & 1 & d}
[/mm]
[mm] r_4+r_2 [/mm] , [mm] r_3-5r_2 [/mm] , [mm] 6r_3+7r_2
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & b \\ 0 & 0 & -6 & c-5b \\ 0 & 0 & 0 & 6*(d+2b)+7*(c-5b)}
[/mm]
Die enstsprechende Gleichung wäre demnach 6*(d+2b)+7*(c-5b)=0 . Kann man das so machen ?
Eine weitere Frage ist: Angenommen ich habe eine 3x3 Matrix gegeben, die zwei Parameter a und b [mm] \in \IR [/mm] enthält, ich möchte die Parameter so bestimmen, dass die Matrix Rang 2 hat, wieso ist es genug, dass die Determinante dann =0 ist, laut meinem prof impliziert das, dass die Matrix Rang 2 hat, wieso nicht Rang 1 ? Ich weiß, dass Rang 3 implizieren würde, dass die Matrix invertierbar ist...
Wäre schön, wenn mir jemand hilft !
Lg
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Moin,
> Geben Sie eine Gleichung für b,c und d an, so dass die
> folgenden matrizen denselben Rang haben
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & b \\ 2 & -1 & 3 & c \\ 1 & 4 &-2 & d}[/mm]
>
> [mm]B=\pmat{ 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 &-2}[/mm]
>
> Hallo,
>
> die Matrix B hat Rang 3.
>
> Die Vorgehensweise für Matrix A war nun, sie auf
> Zeilenstufenform zu bringen und eine Gleichung zu finden,
> so dass keine Nullreihe entsteht. Ist das so schonmal okay
> ?
du schreibst keine Nullzeile, dabei ist ja die Bedingung für Rang =3 genau eine Nullzeile.
> Hier meine Rechnung
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & b \\ 2 & -1 & 3 & c \\ 1 & 4 &-2 & d}[/mm]
>
> [mm]r_2-r_1[/mm] , [mm]r_3-2r_1[/mm] , [mm]r_4-r_1[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -3 & 0 \\ & -1 & 3 & b \\ 0 & -5 & 9 & c \\ 0 & 2 & 1 & d}[/mm]
>
> [mm]r_4+r_2[/mm] , [mm]r_3-5r_2[/mm] , [mm]6r_3+7r_2[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & b \\ 0 & 0 & -6 & c-5b \\ 0 & 0 & 0 & 6*(d+2b)+7*(c-5b)}[/mm]
>
> Die enstsprechende Gleichung wäre demnach
> 6*(d+2b)+7*(c-5b)=0 . Kann man das so machen ?
>
Hier stehts ja jetzt richtig. Mit den Nebenbedigungen aus den Zeilen darüber..
> Eine weitere Frage ist: Angenommen ich habe eine 3x3 Matrix
> gegeben, die zwei Parameter a und b [mm]\in \IR[/mm] enthält, ich
> möchte die Parameter so bestimmen, dass die Matrix Rang 2
> hat, wieso ist es genug, dass die Determinante dann =0 ist,
> laut meinem prof impliziert das, dass die Matrix Rang 2
> hat, wieso nicht Rang 1 ? Ich weiß, dass Rang 3
> implizieren würde, dass die Matrix invertierbar ist...
Gute Frage, invertierbar wenn die Matrix vollen Rang hat, korrekt. Ich kenne das so, dass eine 3x3 Matrix A mit det(A)=0 nicht Rang 3 hat, ob 1 oder 2 bleibt zu prüfen....
>
> Wäre schön, wenn mir jemand hilft !
>
> Lg
>
Ich bin kein Mathematiker, und benutze solche Matrizen mehr als Lösungshilfe, aber ich hoffe ich konnte dir trotzdem helfen...
Gruss Christian
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Hi,
Danke für deine schnelle Antwort!
Wie würde ich denn dann die Nebenbedingungen noch einbauen ? Die andere Zeilen können zumindest in Zeilenstufenform nicht mehr zur Nullzeile werde, oder ?
Weiß jemand vielleicht noch was zu der Frage bzgl der Determinante ?
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Genauer gesagt sie dürfen nicht zur Nullzeile werden!
Also was war das....b-5c [mm] \not= [/mm] 3 oder so ähnlich und b [mm] \not= [/mm]
Wenn du 2 Nullzeilen hast ist der Rang ja nur noch 2 was ja nicht erwünscht ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Sa 08.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn deine Umformungen richtig sind, seh ich auch keine weiteren Nebenbedingungen. da ja 3 zeilen unabh. vom letzten Eintrag überbleiben.
wenn die Det=0 ist, kann der Rang auch 1 sein, da dann aber alle Zeilen proportional sind, sieht man dRang 1 direkt, deshalb hat dein Prof wohl nur von Rang 2 gesprochen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Sa 08.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo leduart,
danke für die antwort :)
Schönes Wochenende.
Kg
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