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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Rang einer Matrix
Rang einer Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Rang einer Matrix: Ansatz / Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Mo 26.01.2009
Autor: Muemo

Aufgabe
Man bestimme den Rang der folgenden Matrix:

[mm] \pmat{ 0 & 4 & 10 & 1 \\ 4 & 8 & 18 & 7 \\ 10 & 18 &40 & 17 \\ 1 & 7 & 17 &3} [/mm]

Hallo,

ich soll den Rang dieser Matrix bestimmen. Meiner Meinung nach muss ich untersuchen wieviele der Zeilen bzw. Spalten linear unabhängig sind. Die Anzahl der Zeilen, die linear unabhängig sind sagen mir den Rang, wobei gilt Spaltenrang=Zeilenrang. Hoffe soweit ok?

Jedoch fehlt es mir jetzt an einen Ansatz, es wäre ja nicht effektiv einfach drauf loszurechnen und zu schauen ob sich was ergibt und auf ersten Blick seh ich leider auch nichts.

Welche Lösungsverfahren, Vorgehensweisen gibt es? Elementare Umformung wurde mir als Stichwort gesagt, konnte leider nichts damit anfangen. Hoffe, dass mir jemand auf die Sprüunge helfen kann.

Grüße


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Rang einer Matrix: Gauß-Algorithmus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Mo 26.01.2009
Autor: kuemmelsche

Hallo Muemo und [willkommenmr],

Sagt dir der MBGauß-Algorithmus etwas?
[edit: Link zum MBSchulMatheLexikon eingefügt. informix]

Bringe deine Matrix doch einfach in Dreiecksgestallt, dann siehst du, wie viele Zeilen noch übrig bleiben. Wie du schon sagtest: Spaltenrang=Zeilenrang=Rang der Matirx, so viele Zeilen wie übrigbleiben (also nicht überall eine Null steht), so viele linear unabhängige Zeilen hat deine Matrix.

lg Kai
Bezug
                
Bezug
Rang einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Mo 26.01.2009
Autor: Muemo

Hallo, danke für die schnelle Antwort.

Mit den Gaußschen Algorithmus bin ich leider noch nicht ganz vertraut.  Ich weiß nur, dass dieser die Matrix umformt und sozusagen vereinfacht, ich werd mich dazu mal belesen und schauen ob ich es hinkrieg.

Meine Frage wäre jetzt noch, ob der Gaußsche Algorithmus gleichzusetzen ist mit der elementaren Umformung (was ich als Tipp zur Lösung bekommen hab)?

Laut Lösungen müsste der Rang der Matrix 2 sein.

Grüße
Bezug
                        
Bezug
Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 Mo 26.01.2009
Autor: kuemmelsche

Der Gaußalgorithmus ist einfach ein sehr effizientes Einsetzten der elementaren Umformungen zum Erzeugen einer Matirx in folgender Gestallt:

[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\ 0 & a_{22} &... & a_{1n} \\ ... & ... &... & a_{1n} \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} }, [/mm]

wobei die Hauptdiagonale von 0 verschiedene Zahlen haben muss, also die [mm] a_{ii}\not=0, \forall [/mm] i=1,...,n.

lg Kai
Bezug
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