Rang , Kern < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 So 09.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Es sei [mm] P_n [/mm] der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n und
f [mm] :P_n \to P_n [/mm] , p [mm] \mapsto [/mm] p' (Anmerkung: ist das selbe Zeichen auf meinem Aufgabenblatt wie bei f '(x). Damit ist an der Stelle 1. Ableitung gemeint). Bestimmen Sie rg f und ker f. |
Hi,
Kann mir jemand sagen was es mit p' in dem Ausdruck p [mm] \mapsto [/mm] p' auf sich hat? ist damit die erste Ableitung gemeint?
Wie soll ich von einer Abbildung der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n rg f und ker f berechnen, wenn ich die mathematische Vorschrift der Abbildung gar nicht kenne?
Was will der Aufgabensteller eigentlich von mir?
Lasst mich bitte nicht dumm sterben!
Gruß didi_160
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 So 09.07.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
als erstes solltest du dir mal überlegen, wie eine Basis des VR aussehen könnte - damit natürlich auch : welche Dimension der VR hat.
Außerdem wenn mit p' die Ableitung gemeint ist, dann solltest du den Kern eigentlich recht leicht bestimmen können:
Welche POLYNOME werden denn durch ableiten zum Null-polynom ?!?
Welche Dimension hat also der Kern?
Wie das Bild aussieht sollte man sich eigentlich auch klar machen können:
wenn du ein beliebiges Polynom vom Grad höchstens n ableitest, was erhälst du dann?
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 09.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
besten Dank für deine schnelle Antwort.
> als erstes solltest du dir mal überlegen, wie eine Basis
> des VR aussehen könnte - damit natürlich auch : welche
> Dimension der VR hat.
Wenn vom Polynomgrad [mm] \le [/mm] n in der Aufgabe gesprochen wird, dann hat der VR meiner Meinung nach Dimension n .
_________________________________________________
> Außerdem wenn mit p' die Ableitung gemeint ist, dann
> solltest du den Kern eigentlich recht leicht bestimmen
> können:
> Welche POLYNOME werden denn durch ableiten zum
> Null-polynom ?!?
> Welche Dimension hat also der Kern?
Mit Nullpolynom meinst du sicher ein Polynom vom Grad 0. ein Polynom
[mm] P_1 [/mm] = [mm] a_1*x^1+a_0 [/mm] liefert die Ableitung [mm] P_0 [/mm] = [mm] a_1. [/mm] Damit hat der Kern die Dimension 1.
________________________________________________
> Wie das Bild aussieht sollte man sich eigentlich auch klar
> machen können:
> wenn du ein beliebiges Polynom vom Grad höchstens n
> ableitest, was erhälst du dann?
Ein Polynom vom Grad n abgeleitet ergibt ein Polynom vom Grad (n-1)
_________________________________________________________
Jetzt ist der Groschen gefallen: Da gibt es den Kern-Bild Satz:
dim Kern f + dim Bild f = dim V.
(f ist die lin. Abbildung)
_______________________________________________________
Aber gefragt ist doch nach rg f und kern f
Für Kern [mm] \varphi [/mm] habe ich in meinen Aufzeichnungen stehen:
Kern [mm] \varphi [/mm] := [mm] \{ x \in V | \varphi (x) = 0 \}
[/mm]
________________________________________________________
Bei der Frage nach dem Rang f würde ich die Anzahl der Spalten der Transformationsmatrix angeben, die den Kern in das Bild überführt.
Jetzt bin ich mir nicht sicher ob die richtige Antwort rg f = 1 ist. (Begründung: aus einem Polynom n-ten Grades als Kern soll ein Polynom 0-ten Grades als Bild entstehen )
Überprüfst du bitte meine Gedankengänge noch einmal und bestätigst mir die richtige Lösung? Ich kann mir kaum noch Punktabzug leisten.
Viele Grüße
didi_160
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 So 09.07.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Wenn vom Polynomgrad [mm]\le[/mm] n in der Aufgabe gesprochen wird,
> dann hat der VR meiner Meinung nach Dimension n .
Leider nicht ganz richtig, denn wenn du
[mm] $p(x)=a_n*x^n+.. +a_1*x [/mm] + [mm] a_0$ [/mm] eindeutig darstellen willst, dann musst du schon alle [mm] a_i [/mm] angeben - dies sind aber (n+1) viele.
Die Basis wäre dann hier [mm] $\{ x^n , x^{n-1},..,x,1 \}$
[/mm]
Dann kann man obiges Polynom als Vektor: [mm] $\vektor{a_n\\:\\a_1\\a_0}$ [/mm] darstellen
> Mit Nullpolynom meinst du sicher ein Polynom vom Grad 0.
nein auch nicht ganz - mit Nullpolynom ist das Polynom mit allen (n+1) Koeffizienten gleich 0 gemeint (also in vektorschreibweise gerade der Nullvektor)
> hat der Kern die Dimension 1.
Aber um das Nullpolynom als Ableitung zu erhaöten, muss man schon ein Polynom vom Grad 0 ableiten, also hat der KErn wirklich Dimension 1...
> Ein Polynom vom Grad n abgeleitet ergibt ein Polynom vom
> Grad (n-1)
jup, das ist genau, was ich meinte..
> Aber gefragt ist doch nach rg f und kern f
> Für Kern [mm]\varphi[/mm] habe ich in meinen Aufzeichnungen
> stehen:
> Kern [mm]\varphi[/mm] := [mm]\{ x \in V | \varphi (x) = 0 \}[/mm]
Ja den Kern hast du ja jetzt bestimmt : es sind alle Polynome vom Grad 0.
und "rg f" heißt wahrscheinlich nicht "rang von f" (denn nur Matrizen haben einen Rang), sondern "range von f" - also rg f = Bild(f)
(aber dies solltest du mal nochmal nachschauen)
und das Bild hast du ja auch schon richtig bestimmt.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
|
