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| Aufgabe | Sei [mm] \gamma [/mm] : [mm] (0,\pi) \times (-\pi/2, \pi/2) [/mm] --> [mm] \IR^3, \gamma(\varphi, \beta)=(cos(\varphi)sin(\beta),sin(\beta)sin(\varphi),cos(\beta))
[/mm]
Ist die Abbildung [mm] \gamma [/mm] stetig diffbar und welchen Rang hat [mm] \gamma' [/mm] ? |
noch mal kurz vorweg, was bedeutet das L in [mm] \gamma' [/mm] --> [mm] L(\IR^m, \IR^n)?
[/mm]
Zur 1. Frage: Wie finde ich heraus, ob die Abbildung stetig differenzierbar ist? muss ich die Partiellen Abeitungen bilden und deren Grenzwerte miteinander vergleichen?
Zur 2. Frage: Ich habe schon mal [mm] \gamma' [/mm] gebildet und bekomme heraus:
[mm] \gamma' [/mm] := [mm] \begin{pmatrix} -sin(\varphi)sin(\beta) & cos(\varphi)cos(\beta) \\ cos(\varphi)sin(\beta) & sin(\varphi)cos(\beta) \\ 0 & -sin(\beta) \end{pmatrix}
[/mm]
Da ich Lina nicht gemacht habe, ist mir noch nicht klar, wie ich jetzt den Rang der Matrix erkenne. Es hat etwas mit dem Gauß Algorithmus zu tun oder? Meiner Meinung nach kann man die ersten zwei Zeilen der Matrix nicht mehr geschickt miteinander multiplizieren, dividieren oder anderes...Wie oft muss man denn den Gaußalgorithmus anwenden, um den Rang der Matrix bestimmen zu können?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 So 23.06.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Sei [mm]\gamma[/mm] : [mm](0,\pi) \times (-\pi/2, \pi/2)[/mm] --> [mm]\IR^3, \gamma(\varphi, \beta)=(cos(\varphi)sin(\beta),sin(\beta)sin(\varphi),cos(\beta))[/mm]
>
> Ist die Abbildung [mm]\gamma[/mm] stetig diffbar und welchen Rang
> hat [mm]\gamma'[/mm] ?
> noch mal kurz vorweg, was bedeutet das L in [mm]\gamma'[/mm] -->
> [mm]L(\IR^m, \IR^n)?[/mm]
>
???
Aber zur Erklärung:
Die stetigen linearen Funktionen von [mm] (V1,||.||_{1}) \to [/mm] (V2, [mm] ||.||_{2}) [/mm] bilden einen normierten Vektorraum bzgl der Supremumsnorm über die Einheitskugel.
Bezeichnung: L(V1,V2). Falls der Bildraum (V2, [mm] ||.||_{2}) [/mm] Banachraum ist, so auch L(V1,V2).
> Zur 1. Frage: Wie finde ich heraus, ob die Abbildung stetig
> differenzierbar ist? muss ich die Partiellen Abeitungen
> bilden und deren Grenzwerte miteinander vergleichen?
Wie findest du generell heraus ob eine Abbildung stetig diffbar ist? Wenn du partiell stetig diffbar zeigst impliziert das natürlich: total diffbar.
>
> Zur 2. Frage: Ich habe schon mal [mm]\gamma'[/mm] gebildet und
> bekomme heraus:
>
> [mm]\gamma'[/mm] := [mm]\begin{pmatrix} -sin(\varphi)sin(\beta) & cos(\varphi)cos(\beta) \\ cos(\varphi)sin(\beta) & sin(\varphi)cos(\beta) \\ 0 & -sin(\beta) \end{pmatrix}[/mm]
>
> Da ich Lina nicht gemacht habe, ist mir noch nicht klar,
> wie ich jetzt den Rang der Matrix erkenne. Es hat etwas mit
> dem Gauß Algorithmus zu tun oder? Meiner Meinung nach kann
> man die ersten zwei Zeilen der Matrix nicht mehr geschickt
> miteinander multiplizieren, dividieren oder anderes...Wie
> oft muss man denn den Gaußalgorithmus anwenden, um den
> Rang der Matrix bestimmen zu können?
Ja Gaußalgor. verwenden und dann: Anzahl der Zeilenvektoren welche [mm] \neq [/mm] 0 sind ist der Rang der Matrix.
Lg
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> > Sei [mm]\gamma[/mm] : [mm](0,\pi) \times (-\pi/2, \pi/2)[/mm] --> [mm]\IR^3, \gamma(\varphi, \beta)=(cos(\varphi)sin(\beta),sin(\beta)sin(\varphi),cos(\beta))[/mm]
>
> >
> > Ist die Abbildung [mm]\gamma[/mm] stetig diffbar und welchen Rang
> > hat [mm]\gamma'[/mm] ?
> > noch mal kurz vorweg, was bedeutet das L in [mm]\gamma'[/mm]
> -->
> > [mm]L(\IR^m, \IR^n)?[/mm]
> >
> ???
> Aber zur Erklärung:
>
> Die stetigen linearen Funktionen von [mm](V1,||.||_{1}) \to[/mm]
> (V2, [mm]||.||_{2})[/mm] bilden einen normierten Vektorraum bzgl der
> Supremumsnorm über die Einheitskugel.
> Bezeichnung: L(V1,V2). Falls der Bildraum (V2, [mm]||.||_{2})[/mm]
> Banachraum ist, so auch L(V1,V2).
>
>
> > Zur 1. Frage: Wie finde ich heraus, ob die Abbildung stetig
> > differenzierbar ist? muss ich die Partiellen Abeitungen
> > bilden und deren Grenzwerte miteinander vergleichen?
>
> Wie findest du generell heraus ob eine Abbildung stetig
> diffbar ist? Wenn du partiell stetig diffbar zeigst
> impliziert das natürlich: total diffbar.
> >
> > Zur 2. Frage: Ich habe schon mal [mm]\gamma'[/mm] gebildet und
> > bekomme heraus:
> >
> > [mm]\gamma'[/mm] := [mm]\begin{pmatrix} -sin(\varphi)sin(\beta) & cos(\varphi)cos(\beta) \\ cos(\varphi)sin(\beta) & sin(\varphi)cos(\beta) \\ 0 & -sin(\beta) \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Da ich Lina nicht gemacht habe, ist mir noch nicht klar,
> > wie ich jetzt den Rang der Matrix erkenne. Es hat etwas mit
> > dem Gauß Algorithmus zu tun oder? Meiner Meinung nach kann
> > man die ersten zwei Zeilen der Matrix nicht mehr geschickt
> > miteinander multiplizieren, dividieren oder anderes...Wie
> > oft muss man denn den Gaußalgorithmus anwenden, um den
> > Rang der Matrix bestimmen zu können?
>
> Ja Gaußalgor. verwenden und dann: Anzahl der
> Zeilenvektoren welche [mm]\neq[/mm] 0 sind ist der Rang der Matrix.
also wäre der Rang dieser Matrix hier 3?
> Lg
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> > Ja Gaußalgor. verwenden und dann: Anzahl der
> > Zeilenvektoren welche [mm]\neq[/mm] 0 sind ist der Rang der Matrix.
>
> also wäre der Rang dieser Matrix hier 3?
Es gilt, dass der Zeilrang=Spaltenrang ist. Also ist der [mm] rank(\gamma')=3 [/mm] gar nicht möglich. Es muss [mm] rank(\gamma')<3 [/mm] sein.
> > Lg
>
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> > > Sei [mm]\gamma[/mm] : [mm](0,\pi) \times (-\pi/2, \pi/2)[/mm] --> [mm]\IR^3, \gamma(\varphi, \beta)=(cos(\varphi)sin(\beta),sin(\beta)sin(\varphi),cos(\beta))[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ist die Abbildung [mm]\gamma[/mm] stetig diffbar und welchen Rang
> > > hat [mm]\gamma'[/mm] ?
> > > noch mal kurz vorweg, was bedeutet das L in [mm]\gamma'[/mm]
> > -->
> > > [mm]L(\IR^m, \IR^n)?[/mm]
> > >
> > ???
> > Aber zur Erklärung:
> >
> > Die stetigen linearen Funktionen von [mm](V1,||.||_{1}) \to[/mm]
> > (V2, [mm]||.||_{2})[/mm] bilden einen normierten Vektorraum bzgl der
> > Supremumsnorm über die Einheitskugel.
> > Bezeichnung: L(V1,V2). Falls der Bildraum (V2,
> [mm]||.||_{2})[/mm]
> > Banachraum ist, so auch L(V1,V2).
> >
> >
> > > Zur 1. Frage: Wie finde ich heraus, ob die Abbildung stetig
> > > differenzierbar ist? muss ich die Partiellen Abeitungen
> > > bilden und deren Grenzwerte miteinander vergleichen?
> >
> > Wie findest du generell heraus ob eine Abbildung stetig
> > diffbar ist? Wenn du partiell stetig diffbar zeigst
> > impliziert das natürlich: total diffbar.
> > >
> > > Zur 2. Frage: Ich habe schon mal [mm]\gamma'[/mm] gebildet und
> > > bekomme heraus:
> > >
> > > [mm]\gamma'[/mm] := [mm]\begin{pmatrix} -sin(\varphi)sin(\beta) & cos(\varphi)cos(\beta) \\ cos(\varphi)sin(\beta) & sin(\varphi)cos(\beta) \\ 0 & -sin(\beta) \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Da ich Lina nicht gemacht habe, ist mir noch nicht klar,
> > > wie ich jetzt den Rang der Matrix erkenne. Es hat etwas mit
> > > dem Gauß Algorithmus zu tun oder? Meiner Meinung nach kann
> > > man die ersten zwei Zeilen der Matrix nicht mehr geschickt
> > > miteinander multiplizieren, dividieren oder anderes...Wie
> > > oft muss man denn den Gaußalgorithmus anwenden, um den
> > > Rang der Matrix bestimmen zu können?
> >
> > Ja Gaußalgor. verwenden und dann: Anzahl der
> > Zeilenvektoren welche [mm]\neq[/mm] 0 sind ist der Rang der Matrix.
>
> also wäre der Rang dieser Matrix hier 3?
> > Lg
>
Nein! Wie schon in der Antwort von Richie1401 : Man kann zeigen dass Spalten und Zeilenrang einer Matrix gleich sind (außer für Matrizen über Ringen - da muss diese Aussage nicht gelten ).
Abgesehen davon: Du schließt auf rg=3 weil du 3 Zeilen siehst?
Forme deine Matrix zuerst in Stufenform um! Hierzu bediene dich dem Gaußschen Eliminationsverfahren, nach dessen Anwendung wirst du den Rang ablesen können.
Lg
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> >
> Nein! Wie schon in der Antwort von Richie1401 : Man kann
> zeigen dass Spalten und Zeilenrang einer Matrix gleich sind
> (außer für Matrizen über Ringen - da muss diese Aussage
> nicht gelten ).
> Abgesehen davon: Du schließt auf rg=3 weil du 3 Zeilen
> siehst?
>
> Forme deine Matrix zuerst in Stufenform um! Hierzu bediene
> dich dem Gaußschen Eliminationsverfahren, nach dessen
> Anwendung wirst du den Rang ablesen können.
>
ja ich müsste also praktisch die erste und die zweite Reihe geschickt miteinander multiplizieren/addieren o.ä. damit ich in der ersten Komponenten der 2. Spalte eine 0 stehen habe. Aber das ist in diesem Fall doch nicht möglich oder?
Also ist Zeilenrang=Spaltenrang=2 ?!
Lg
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Hallo,
> > Forme deine Matrix zuerst in Stufenform um! Hierzu bediene
> > dich dem Gaußschen Eliminationsverfahren, nach dessen
> > Anwendung wirst du den Rang ablesen können.
> >
> ja ich müsste also praktisch die erste und die zweite
> Reihe geschickt miteinander multiplizieren/addieren o.ä.
Ja.
> damit ich in der ersten Komponenten der 2. Spalte eine 0
> stehen habe.
Eigentlich willst du eher in den ersten Komponenten der 2. ZEILE eine Null haben.
Multipliziere die zweite Zeile mit [mm] $\sin(\phi)\not= [/mm] 0$, und addiere dann [mm] $\cos(\phi)$-mal [/mm] die erste Zeile auf die zweite Zeile.
Dann bleibt die erste Zeile wie vorher, aber die zweite Zeile lautet nun $(0, [mm] \cos(\beta))$. [/mm] Und weil [mm] $\cos(\beta)\not= [/mm] 0$ ist, kannst du nun die neue zweite Zeile [mm] $-\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$-mal [/mm] auf die dritte Zeile addieren, die zur Nullzeile wird.
Du erhältst also durch elementare Zeilenumformungen eine Matrix der Form
[mm] $\begin{pmatrix}-\sin(\phi)\sin(\beta) & \cos(\phi) \cos(\beta)\\ 0 & \cos(\beta) \\ 0 & 0\end{pmatrix}$.
[/mm]
Nun kannst du den Rang ablesen. Was ist im Fall [mm] $\beta [/mm] = 0$?
Viele Grüße,
Stefan
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> Hallo,
>
>
> > > Forme deine Matrix zuerst in Stufenform um! Hierzu bediene
> > > dich dem Gaußschen Eliminationsverfahren, nach dessen
> > > Anwendung wirst du den Rang ablesen können.
> > >
> > ja ich müsste also praktisch die erste und die zweite
> > Reihe geschickt miteinander multiplizieren/addieren o.ä.
>
> Ja.
>
> > damit ich in der ersten Komponenten der 2. Spalte eine 0
> > stehen habe.
>
> Eigentlich willst du eher in den ersten Komponenten der 2.
> ZEILE eine Null haben.
Meine ich doch ;)
>
> Multipliziere die zweite Zeile mit [mm]\sin(\phi)\not= 0[/mm], und
> addiere dann [mm]\cos(\phi)[/mm]-mal die erste Zeile auf die zweite
> Zeile.
>
> Dann bleibt die erste Zeile wie vorher, aber die zweite
> Zeile lautet nun [mm](0, \cos(\beta))[/mm]. Und weil
> [mm]\cos(\beta)\not= 0[/mm] ist, kannst du nun die neue zweite Zeile
> [mm]-\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}[/mm]-mal auf die dritte Zeile
> addieren, die zur Nullzeile wird.
>
> Du erhältst also durch elementare Zeilenumformungen eine
> Matrix der Form
>
> [mm]\begin{pmatrix}-\sin(\phi)\sin(\beta) & \cos(\phi) \cos(\beta)\\ 0 & \cos(\beta) \\ 0 & 0\end{pmatrix}[/mm].
>
> Nun kannst du den Rang ablesen. Was ist im Fall [mm]\beta = 0[/mm]?
daanke, da wäre ich von alleine nicht drauf gekommen 
>
in dem Fall würde in der zweiten Spalte, 2. Komponente eine 1 stehen und in der ersten Spalte, erste Komponente eine 0. Dadurch würde sich der Rang aber nicht ändern, oder?
Noch mal zu der Frage, ob die Funktion auch stetig differenzierbar ist. Mein Problem ist, dass ich praktisch keine kritischen Punkt habe, an die ich mich von rechts oder links annähern muss und deren Ableitung für den eingesetzten Wert ich dann vergleichen muss. Wie gehe ich also hier vor? Ich muss schon mal die partiellen Ableitungen bilden, was ich ja gemacht habe. Kann es sein, dass ich mit dem Satz von Schwarz sagen kann, ob die 2. Ableitung von xy die Gleiche ist wie die von yx? Dann wäre die Funktion total differenzierbar und somit auch stetig!?
Lg
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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> > Hallo,
> >
> >
> > > > Forme deine Matrix zuerst in Stufenform um! Hierzu bediene
> > > > dich dem Gaußschen Eliminationsverfahren, nach dessen
> > > > Anwendung wirst du den Rang ablesen können.
> > > >
> > > ja ich müsste also praktisch die erste und die zweite
> > > Reihe geschickt miteinander multiplizieren/addieren o.ä.
> >
> > Ja.
> >
> > > damit ich in der ersten Komponenten der 2. Spalte eine 0
> > > stehen habe.
> >
> > Eigentlich willst du eher in den ersten Komponenten der 2.
> > ZEILE eine Null haben.
>
> Meine ich doch ;)
> >
> > Multipliziere die zweite Zeile mit [mm]\sin(\phi)\not= 0[/mm], und
> > addiere dann [mm]\cos(\phi)[/mm]-mal die erste Zeile auf die zweite
> > Zeile.
> >
> > Dann bleibt die erste Zeile wie vorher, aber die zweite
> > Zeile lautet nun [mm](0, \cos(\beta))[/mm]. Und weil
> > [mm]\cos(\beta)\not= 0[/mm] ist, kannst du nun die neue zweite Zeile
> > [mm]-\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}[/mm]-mal auf die dritte Zeile
> > addieren, die zur Nullzeile wird.
> >
> > Du erhältst also durch elementare Zeilenumformungen eine
> > Matrix der Form
> >
> > [mm]\begin{pmatrix}-\sin(\phi)\sin(\beta) & \cos(\phi) \cos(\beta)\\ 0 & \cos(\beta) \\ 0 & 0\end{pmatrix}[/mm].
>
> >
> > Nun kannst du den Rang ablesen. Was ist im Fall [mm]\beta = 0[/mm]?
>
> daanke, da wäre ich von alleine nicht drauf gekommen
> >
> in dem Fall würde in der zweiten Spalte, 2. Komponente
> eine 1 stehen und in der ersten Spalte, erste Komponente
> eine 0. Dadurch würde sich der Rang aber nicht ändern,
> oder?
>
> Noch mal zu der Frage, ob die Funktion auch stetig
> differenzierbar ist. Mein Problem ist, dass ich praktisch
> keine kritischen Punkt habe, an die ich mich von rechts
> oder links annähern muss und deren Ableitung für den
> eingesetzten Wert ich dann vergleichen muss. Wie gehe ich
> also hier vor? Ich muss schon mal die partiellen
> Ableitungen bilden, was ich ja gemacht habe. Kann es sein,
> dass ich mit dem Satz von Schwarz sagen kann, ob die 2.
> Ableitung von xy die Gleiche ist wie die von yx? Dann wäre
> die Funktion total differenzierbar und somit auch stetig!?
Nein bei gewissen Funktionen musst du nicht "nachprüfen". Du hast hier eine Verkettung von Funktionen welche alle beliebig oft diffbar sind. es wäre auch zb [mm] 5x^2+8y^3+21x [/mm] beliebig oft diffbar und du könntest mit dem Argument: Weil Polynomfunktion blabla dir Mühe und Arbeit sparen.
Sollte deine Funktion Terme enthalten (zb. Brüche etc) welche ggf. problematisch in gewissen Punkten beim diffen sein könnten- dann musst du dir etwas überlegen.
Deine Fkt. ist stetig diffbar weil : Zusammensetzung stetig diffbarer Funktionen.
mfg
Thomas
>
> Lg
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> >
> > Viele Grüße,
> > Stefan
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Hallo,
> > [mm]\begin{pmatrix}-\sin(\phi)\sin(\beta) & \cos(\phi) \cos(\beta)\\ 0 & \cos(\beta) \\ 0 & 0\end{pmatrix}[/mm].
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> > Nun kannst du den Rang ablesen. Was ist im Fall [mm]\beta = 0[/mm]?
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> daanke, da wäre ich von alleine nicht drauf gekommen
> >
> in dem Fall würde in der zweiten Spalte, 2. Komponente
> eine 1 stehen und in der ersten Spalte, erste Komponente
> eine 0. Dadurch würde sich der Rang aber nicht ändern,
> oder?
Doch. Im Falle [mm] $\beta [/mm] = 0$ ist der Rang nur 1! (nur eine Nicht-Nullspalte).
Ansonsten ist der Rang = 2, weil dann [mm] $\sin(\beta), \cos(\beta)\not= [/mm] 0$.
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo,
> Sei [mm]\gamma[/mm] : [mm](0,\pi) \times (-\pi/2, \pi/2)[/mm] --> [mm]\IR^3, \gamma(\varphi, \beta)=(cos(\varphi)sin(\beta),sin(\beta)sin(\varphi),cos(\beta))[/mm]
>
> Ist die Abbildung [mm]\gamma[/mm] stetig diffbar und welchen Rang
> hat [mm]\gamma'[/mm] ?
> noch mal kurz vorweg, was bedeutet das L in [mm]\gamma'[/mm] -->
> [mm]L(\IR^m, \IR^n)?[/mm]
>
> Zur 1. Frage: Wie finde ich heraus, ob die Abbildung stetig
> differenzierbar ist? muss ich die Partiellen Abeitungen
> bilden und deren Grenzwerte miteinander vergleichen?
Deine Funktion ist als Verknüpfung unendlich oft differenzierbarer Funktionen unendlich oft differenzierbar und also auch stetig differenzierbar.
(Stetig differenzierbar bedeutet, dass die Ableitung stetig ist. Weil deine Funktion aber sogar 2mal differenzierbar ist, ist die Ableitung differenzierbar und daher stetig).
Viele Grüße,
Stefan
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Danke =)
wenn ich jetzt folgende weitere Funktion habe:
[mm] d(s,t):=(s,t^2,t^3) [/mm] dann ist
d'(s,t):= [mm] \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&2t \\ 0&3t^2 \end{pmatrix}
[/mm]
der Rang ist zwei (hab die zweite Zeile mit 3t und die dritte mit 2 multipliziert und das ganze subtrahiert.) aber ist die Funktion auch stetig differenzierbar? Du meintest ja, dann müsste auch die Ableitung stetig sein. Wie sehe ich denn, ob das hier der Fall ist?
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Hallo,
> wenn ich jetzt folgende weitere Funktion habe:
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> [mm]d(s,t):=(s,t^2,t^3)[/mm] dann ist
>
> d'(s,t):= [mm]\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&2t \\ 0&3t^2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> der Rang ist zwei (hab die zweite Zeile mit 3t und die
> dritte mit 2 multipliziert und das ganze subtrahiert.)
Pass bei den Zeilenumformungen auf, wenn du mit Termen multiplizierst, die auch Null sein können.
Verwende dann besser die Operation Zeile1*Term + Zeile2 --> Zeile2
(Ein Vielfaches einer Zeile auf eine andere addieren. Dann darf das Vielfache "Term" auch Null sein).
> aber
> ist die Funktion auch stetig differenzierbar? Du meintest
> ja, dann müsste auch die Ableitung stetig sein. Wie sehe
> ich denn, ob das hier der Fall ist?
Außerdem: Eine Funktion $f = [mm] (f_1,...,f_n)$ [/mm] nach [mm] $\IR^n$ [/mm] ist genau dann stetig, wenn alle einzelnen Komponenten der Funktion [mm] $f_i$ [/mm] stetig sind. Du musst also nur die einzelnen Komponenten der Matrix auf Stetigkeit überprüfen.
Der wichtigste Satz um Stetigkeit zu erhalten: Komposition (Hintereinanderausführung) von stetigen Funktionen ist stetig.
Außerdem weißt du, dass $(s,t) [mm] \mapsto [/mm] t$ stetig ist (die Projektion) und auch $(s,t) [mm] \mapsto [/mm] 1$ (die konstante Funktion).
Deine Funktion ist eine Komposition dieser stetigen Funktionen.
Viele Grüße,
Stefan
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> Hallo,
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>
> > wenn ich jetzt folgende weitere Funktion habe:
> >
> > [mm]d(s,t):=(s,t^2,t^3)[/mm] dann ist
> >
> > d'(s,t):= [mm]\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&2t \\ 0&3t^2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > der Rang ist zwei (hab die zweite Zeile mit 3t und die
> > dritte mit 2 multipliziert und das ganze subtrahiert.)
>
> Pass bei den Zeilenumformungen auf, wenn du mit Termen
> multiplizierst, die auch Null sein können.
>
> Verwende dann besser die Operation Zeile1*Term + Zeile2
> --> Zeile2
> (Ein Vielfaches einer Zeile auf eine andere addieren. Dann
> darf das Vielfache "Term" auch Null sein).
>
>
> > aber
> > ist die Funktion auch stetig differenzierbar? Du meintest
> > ja, dann müsste auch die Ableitung stetig sein. Wie sehe
> > ich denn, ob das hier der Fall ist?
>
>
> Außerdem: Eine Funktion [mm]f = (f_1,...,f_n)[/mm] nach [mm]\IR^n[/mm] ist
> genau dann stetig, wenn alle einzelnen Komponenten der
> Funktion [mm]f_i[/mm] stetig sind. Du musst also nur die einzelnen
> Komponenten der Matrix auf Stetigkeit überprüfen.
>
> Der wichtigste Satz um Stetigkeit zu erhalten: Komposition
> (Hintereinanderausführung) von stetigen Funktionen ist
> stetig.
>
> Außerdem weißt du, dass [mm](s,t) \mapsto t[/mm] stetig ist (die
> Projektion) und auch [mm](s,t) \mapsto 1[/mm] (die konstante
> Funktion).
>
> Deine Funktion ist eine Komposition dieser stetigen
> Funktionen.
>
Super, damit ist d stetig diffbar und hat für d' den Rang 2.
Danke =)
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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Hallo,
> > > wenn ich jetzt folgende weitere Funktion habe:
> > >
> > > [mm]d(s,t):=(s,t^2,t^3)[/mm] dann ist
> > >
> > > d'(s,t):= [mm]\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&2t \\ 0&3t^2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > der Rang ist zwei (hab die zweite Zeile mit 3t und die
> > > dritte mit 2 multipliziert und das ganze subtrahiert.)
> Super, damit ist d stetig diffbar und hat für d' den Rang
> 2.
Vielleicht hätte ich es deutlicher sagen sollen: Der Rand ist nicht immer 2 !
Wieder gibt es einen Spezialfall zu beachten: t = 0.
Dann ist der Rang = 1.
Viele Grüße,
Stefan
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